Question

Math

クが分かりません。赤い線のところからつまづいています。△APBと△ACBの相似の条件となる角度がなぜ一緒なのか分りません。教えてください。

第7回 ◇解説
第1問 (1) 点Aから辺BCに垂線AHを下ろすと, △ABH は
AHB=90°の直角三角形であり
よって
AB=5,BR=1212BC=4
BH
ゆえに
74
cos 8=7
sin0=√1−cos³0 =√¹-(^^)² = 3
また
△ABCの外接円の半径をRとすると, 正弦定理により
AC
2R=
sin A
AC
R= 2 sin 8
円周角の定理により
5
∠ABC=∠APC,
∠ACB=∠APB
201
AH=3であり, BD=5 より DH=1 であるから, AHD において三平方の
定理により
AD'=AH'+DH²=32 +12=10
AD>0 であるから AD=√+10
円周角の定理により
∠APB=∠ACB
△ABCは二等辺三角形であるから
∠ABC=∠ACB
よって, APB と ABD において
∠APB=∠ABD, ∠ PAB=∠BAD
ゆえに, APBS △ABD であるから
AP: BP = AB DB=5:5=1:1
したがって AP=BP (①)
(2) ABCは二等辺三角形であるから
∠ABC=∠ACB
ウエ 25
*6
よって,∠APC=∠APB であるから, APは
∠BPCの二等分線である。 ("@))
∠APC=∠APB=0 であるから, ABP において
余弦定理により
AB' = AP2+BP22AP・BP cos
また, ACP において余弦定理により
AC" = AP2+ CP2-2AP・CP cos o
******
******
B
18
18
(①)
8
8
AD 87
6
P
①-② から AB2-AC'=BP2-CP22AP・BP cos 0 +2AP・CP cos o
AB' = AC2 であるから BP2-CP'-2AP・BP cos 0 +2AP・CP cos0=0
すなわち (BP+CP) (BP-CP)-2AP (BP-CP) cos0=0
よって
(BP-CP)(BP+CP-2AP cos0)=0 (*0. '0)
▶Point
AB = AC

第1問 (配点20)
AB = AC である二等辺三角形ABC と辺BC上の点Dに対して, 直線 AD と
△ABCの外接円 0との交点で点Aとは異なる点をPとする。 ただし, 点Dは2点B,
Cとは異なる点とする。 また, ∠ABC=0 とする。
(1) AB=AC=5,BC=8のとき, cos0=
径は
ク
ウエ
オ
さらに, BD=5のとき, AD=
の解答群
⑩ <
である。
1)
=
カキ
ア
イ
であり, △ABCの外接円の半
であり, AP
②
ク
BP である。
(数学Ⅰ・数学A 第1問は次ページに続く。)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あまとび

２つ目の赤い線、∠PAB=∠BADからいきますと、
こっちは普通にAPとADは長さが違うだけでABに対して全く同じ方向に伸びてるので、これでもか！ってぐらい同じ角です
1つ目の∠APB=∠ABDは少し分かりにくいので写真で載っけときます！

Math

ありがとうございます。
水色の線 AB=ACが同じなら黄色の線は同じになるという解釈でいいですか？

あまとび

そういうことです！

Math

ありがとうございます(_ _)
図も書いてくださったおかげで、すんなり理解できました。

Answer 2

こめ

相似になるのは△APBと△ABDだと思います。

まず△ABCは二等辺三角形なので、底角の∠ABCと∠ACBは同じ角度になります。

次に円周角の定理より、弧ABを基準として∠ACBと∠APBが同じ角度になります。

解説中の∠ABCと∠ABDは同じ角を表しているので、
上記の∠ABC=∠ACB、∠ACB=∠APBより、
∠ABC=∠ABD=∠APBになります。
これが赤線の部分です。

∠PAB=∠BADはそのまま同じ角のことです。

よって△APBと△ABDにおいて2角が同じ角度という相似条件を満たすのでこの2つは相似になります。

Math

ありがとうございます(_ _)