基本例題 92 ある変域で不等式が常に成り立つ条件
0≦x2の範囲において、 常に x-2ax+3a> 0 が成り立つように、定数
の値の範囲を定めよ。
CHART & THINKING
の係数は正。 「常に x-2ax+3> が成り立つ」
ことから、図1のように単に<0 とするのは間
違い! 「0x2の範囲」となっているから,
D0 で図2のような場合も起こりうる。
「ある変域でf(x)
(変域内の最小値)>0」
と考えてみよう。 文字を含む2次関数の最小値は
どのように求めればよかっただろうか。p.114 基本例題64参照。
解答
f(x)=x-2ax+3 とする。
求める条件は 0≦x≦2の範囲における関数 y=f(x) の最
小鎮が正であることである。
f(x)=(x-a)^2-a²+3a であるから, y=f(x)のグラフは
下に凸の放物線で, その軸は直線x=q である。
[1] < のとき
f(x)はx=0 で最小となる。
よって
f(0) =3d>0)
[2]
≦2のとき
f(x)はx=αで最小となる。
[3] 2 <a のとき
f(x)はx=2で最小となる。
よって
よって
f(a)=-a²+3a>0__ #bb a²-3a<0
これを解くと, a(a−3) < 0 から 0<a<3
これと 0≦a≦2の共通範囲は
0<a≤2
(2)=4-a>0 ゆえに a<4
これと 2 <a の共通範囲は
2<a<4
******
これはα<0 を満たさない。
求めるαの値の範囲は、①と②
を合わせて
0<a<4
図1
IDE
①
142
[1] 軸が変域の左外
Vn
a
02
[2] が変城の内部
042
[3] が変城の外
J
理解出来ました！ありがとうございます！