Question

Hr

線を引いたところが分かりません！なぜc+1にならないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

第4問 (選択問題)(配点20)
(1) 432を素因数分解すると
[ア
4322 ' × 3
である。
また, 432の正の約数は全部でウエ個ある。
この例について、花子さんと太郎さんは,次のように話している。
花子: 自然数の正の約数の個数は素因数分解すれば求めることができるね。
太郎 : では,正の約数の個数が与えられたら自然数って決まるのかな。
花子:一つには決まらないよ。 例えば, 6の正の約数の個数も、8の正の約数
の個数も同じ4個だよ。
太郎: 432 に自然数を掛けた数だとどうかな。
花子: 考えてみよう。
太郎さんと花子さんは, 次の問題をつくって考えることにした。
30
問題 Nを2桁の自然数とする。 432N の正の約数の個数が 50個となるよ
うな N を求めよ。
25
(4+1)(3+1)
10
5
(2008
5
2
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
25.40
220
4/50
D
47
2
21432
2/216
432は4322
2
N=2×3×n
ただし,a,bは0以上の整数,nは2,3と互いに素である自然数とおいて考える。
n=1のとき, a, bの組は
(a,b)=(
1108
254
(27)
9
8.
N²
と求められ,N=キクである。
n=1のとき, N は全部でケ個あり、最大のNはN=コサーである。
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
3
造通とい
25-2
3
S
222
200.
オ
と素因数分解できるから
カ
N2-36
28.3
a b
Ba
9.5240
9.4
(BAH) (RH) ₂ 50
02+200492.
ta-)|h=
Descarr
X
2.3
2²3 X
altate-
aetate
28.29
2².29 2.3°
28-83

432は432
11622
4
ア
3
イ
x 34 と素因数分解できるから
2
GAUS SCAM
(a,b)=(オ
N = 2°×3 × n
ただし,a,bは0以上の整数,nは2,3と互いに素である自然数とおいて考える。
n=1のとき, a, 組
曲
ELA
9
132603
と求められ,N=キクである。
n=1のとき, N は全部で
ケ
ma
JAN 20
N₂ 1:0
200
個あり, 最大の N は N = コサーである。
N=
Ann
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。

第4問 整数の性質
(1) 432を素因数分解すると
432 = 24.33
よって, 432 の正の約数の個数は
(4+1)(3+1)=20 (個)
A
次に, 432N の正の約数の個数が50個となる N を求める。
N=2ª.3b.n
(EU)
KIN= pª b c .......
・・・
(a,bは0以上の整数,nは2,3と互いに素である自然数)
Nの正の約数の個数は
とおく。
SALOS
3618
n=1のとき
432N = 24.33 x 2⁰.3b
-2a+4.36+3
CAT
よって, 432Nの正の約数の個数は
(a+5) (6+4) 個 ･･・ A
であり, 50=2.52 であるから
(a+5) (b+4)= 2.5²
ここで, α+55,6+4≧4 であるから一
(a+5, b+4)= (5, 10), (10, 5)
5 (a, b) = (0, 6), (5, 1)
(a,b) = (06) のとき
N=20.36 = 729
(a,b) = (51) のとき
N = 25.31 = 96
8
←この式に代入する。
SHOUSE 04 033
Nは2桁の自然数であるから, (a,b)=(5,1), N = 96
n=1のとき
これを満たす素数nは
432N = 2a+4.36 +3.n A... B
よって 432N の正の約数の個数は
(a+5) (6+4)個(ただし,cは2以上の自然数)
(a+5)(6+4)c=50=25°であり, a+5 ≧5,6 +4≧4 であるから
(a+5, b+4, c) = (5, 5, 2)
すなわち (a,b,c) = (0,1,2)
よって, nは2,3以外の素数である。
N=20.3'n=3nが2桁の自然数であるから
10
10 39 すなわち ≤n ≤ 33
3
CHAOSTOU de designstoe
>&*3#3330AMOCHOE63350
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
であるからⅤは全部で9個あり 最大のは
.....
[A
約数の個数
)
自然数 N を素因数分解した結果
であるとき,
A
(a+1)(6+1)(c+1)...... (個)
構想 ・ 洞察力
432Nの素因数が2,3のみの場合
と2以外の素数が含まれる場
合とで,正の約数の個数を表す式が
異なる。 このことに着目して場合分
けをしている。
#
83531225
B
n=1の場合は素因数がいくつも
考えられる。正の約数の個数が
50=2.52 であることから,素因数
分解したときの形だけが決まる。
ATTENTION !
Nが2桁であることからnに制
限があることに注意。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

こめ

もしも解説のBの部分でnのc乗と定義されていたら、正の約数の個数を求める時にc+1になりますが、この解説ではnの正の約数の個数をcと置いているのでこうなっているのだと思います。

素数では正の約数の個数は1とその数自身の2個になります。
nの正の約数の個数をcとおくことで、cは2以上の自然数となり1ではない数となっていることを示していると思います。

Bの部分でnのc乗と定義した場合は、仰られた通り正の約数の個数は
(a+5)(b+4)(c+1)個
となり、（ただしcは1以上の自然数）とすればいいと思います。

Hr

なるほど。ありがとうございます。