Question

Hr

丸したところが分かりません！なぜ分母が4になるのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

(2) 1から120 までのすべての自然数の積を M とする。
2 HOR
太郎さんと花子さんは, M を 432 で割り切れる回数について考えている。
太郎:1回割り切れたら、次はその商を割り切れるかどうかを調べるというこ
とだよね。
花子:そう。例えば、 1024は2で10回割ることができるということだね。
太郎:それにしてもMは数が大きすぎてとても計算できないよ。
花子:確かに計算は大変だね。 でも, M を 432 で何回割ることができるか」
だけならわかるんじゃない。
太郎 : ここでも素因数分解に注目すればよさそうだね。
mを自然数とする。 M を割ることができる自然数 2" のうち,最大のものは
m=シスセとした数である。
これより,Mは2でちょうどシスセ 回割ることができる。
同様に考えて,Mは3でちょうどソタ回割ることができる。
以上から, M は 432 でちょうどチツ回割ることができる。

(22mmは自然数) の形の自然数でM を割り切ることができる最大の
はMを素因数分解したときの素因数2の個数と一致する。
1から120までの自然数のうち,222
26 で割り切れる数の個数
(第5回12)

は次のようになる。
割る数
2 22 23 24 25 26
割り切れる数の個数 60 30 157 3 1
り切れる数
60 +30+ 15 +7 +3 +1 = 116 であるから, M は
M=2116×P (Pは2と互いに素である自然数)
と表される。
よって, M を割り切ることができる2" のうち,最大の数はm=116の
1434
場合である。
割る数
3 32 33 34
割り切れる数の個数 40 13 4 1
40+13+4+1=58であるから M は
M = 358 x Q(Qは3と互いに素である自然数)
と表される。
これより, Mは3でちょうど58 回割ることができる。
M を 432 でちょうどん回割ることができるとすると
UNIGAS
これよりMは2でちょうど116回割ることができる。
18120
同様に、1から10までの自然数のうち, 3, 32, 33, 34で割り切れる数
の個数は次のようになる。
円
MAR
k≤
116
4
かつん≦
58
3
自然数
1個目の素因数
2個目の素因数
3個目の素因数
4個目の素因数
C
Point
Point
よって19
したがって, Mは432 でちょうど19回割ることができる。
Point
(2)では、1から120の自然数すべてに含まれる素因数 2,3の個数につ
いて考察する必要があり, 素因数 2 3の個数がわかれば 2や3で何
回割ることができるかがわかる。
素因数2を何個含むかは, 自然数それぞれについて素因数2の個数を
数えるのではなく、次の表のように, n個目の素因数を2" で割れる数
の個数として数える。
737
24 6 8 10 12 14 16
|素因数2の個数
22 22 2 2 2 2 8個･･･2で割れる数の個数
2
2
2
2 4個･･･22で割れる数の個数
2
2 2個･･・2°で割れる数の個数
2 1個･･･ 24 で割れる数の個数
C
2で割り切れる数の個数
→1個目の素因数2の個数
22で割り切れる数の個数
→2個目の素因数2の個数
23で割り切れる数の個数
問
3個目の素因数2の個数
****** BA SA RO
これらの数の和は,Mを2で割
る回数と一致する。
131313MOZ pas
346853RIORAQA> ZICA
3/30
st
655-09-08
PROALIN
A CASE
36625
LES
AC

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ふぃる

432＝2^4×3^3なので、
432で1回割る毎に2を4個消費、3を3個消費することになります。
Mは今、2を116個、3を58個持ってるので、
116÷4＝29回、58÷3＝19あまり1より、19回で2か3が足りなくなった時点で432で割れないので最大19回割れることになります。
これを式にすると、
k≦116/4かつk≦58/3
を満たす最大の整数kまで割れる事になります。

Hr

なるほど。ありがとうございます。