第8章 数列
考え方 2つの数列を具体的に書き並べると, 共通項の規則が等比数列{bn}に見えてくる。
a43
A10 a11 a12
{an} a1 A2 A3 A4
128
29 32 35
2 5 8 11
4 8
2
16
32
64
128
{bn} 616263 64
b5
b6
b7
b8
つまり、共通項は, b, by, be, bs, ......と予測され,共通項の数列{C} は, bz を初項
とし,その後,数列{bn} から1つおきに取り出した数の列であると考えられる.
***
例題270 等差数列と等比数列に共通な数列
08 等差数列 2,5,8,
{an},等比数列 1, 2, 4, ...…..を{bn} とすると
き,{an} と {bn} に共通な項を小さい順に並べてできる数列{cn}の一般項
を求めよ.
解答
な
調べて
主
en T
る
1
......
α=2, b2=2より、共通項の数列{C}の初項は, C1=b2=2 である.
{an} は初項2,公差3の等差数列より,
an=3n-1
{bn} は初項1,公比2の等比数列より,
bn=2n-1
{an}の第l項と{bn}の第m項が等しい, つまり、a=bm とすると,
3l-1=2m-1
・①
bm+1=2"=2.2m-1 に ① を代入すると,
bm+1= 2(3ℓ-1)=3(2ℓ-1)+1
となり, {an}の項ではない.
bm+2=2+1=4.2"-' に ① を代入すると,
bm+2=4(3ℓ-1)=3 (4ℓ-1)-1
等差数列{比
3n-1の形に表せない.
となるから, {an}の項である.
このことと 62 が{an}の項であることから, 62+2=64 も {an}の項である.
by が {an}の項であるから, ba+z=be も {an}の項である.
以下同様に考えると,共通項{cn}は, bz, ba,b6, 68, .....である.
よって, 共通項の一般項は, Cn=62n=22n-1
|3n-1の形に表せる.
Check
禁書
初項4,公差3の等差数列{an} と, 初項 200, 公差 -5 の等差数列{bn}
| がある. 数列{an} と数列{bn} の共通項を, 小さい方から順に並べてでき
る数列{cn}の一般項と総和を求めよ. 大量を
例題263 2つの等差数列に共通な数列
考え方 解答 1 数列{an} と数列{bn}の正の項を小さい順に並べた数列{dn} を書き出すと,数
ICI
列{cn}の初項がみつかり,数列{C}の規則性もわかる.
解答2 (数列{an}の第l項)=(数列{bn}の第m項)として, 自然数l, m の関係式を求
め、 l m のいずれかを自然数んで表す。
解答 1
budete
m
{an}: 4,7,10, 13, 16, 19, 22,25,28,
数列{bn}の正の項を小さい順に並べた数列{an} は,
{d}: 5,10,15, 20, 25, 30 ......
よって、共通項の数列{cn}の初項は 10
数列{an} の公差は3, 数列{dn} の公差は5であるから,
数列{cm} は3と5の最小公倍数 15 を公差とする等差数
列である. よって,数列{C}の一般項は,
C=10+(n-1)×15=15n-5
また, 10≦cm≦200 より 10≦15-5≦200
したがって、1≦n = 14.8より、
3
よって, 数列{C} の総和は,
2
・13{2×10+ (13-1)×15}=1300
***
...
n=1, 2,..... 13
takv
bn=200+(n-1).(-5)
=-5n+205
6 > 0 となるnの値は,
n≦40 より,
数列{dn}は,
10d=b40=5 で,公差は5
{C} は初項 C1=10以
上, {bn}の初項 200 以
下である.
an=4+(n-1)・3
=3n+1
Sn=1/12/n{2a+(n-1)d}
丁寧に回答して頂きありがとうございます😭
とても分かりやすくて助かりました
最小公倍数 数学的帰納法 等
のご説明とてもためになりました