Question

麦

高一、数学Aです。

(2)が分かりません。3枚目の赤線で引いた部分がなぜそうなるのかを教えて頂きたいです。

□ 269 (1) 整数xを3,57で割った余りがそれぞれ a, b, c であるとする。
n=70a+216+15㎝ とするとき. n-xは105で割り切れることを証
明せよ。
(2) Aさんの年齢を3で割った余りは1,5で割った余りは3, 7で割った
余りは4である。 (1) を利用して, Aさんの年齢を求めよ。 ただし,A
さんの年齢は105歳より下とする。

269 (1) 整数xを3で割ったときの余りがαであ
るから, xは整数を用いて
2+(8-108 x=3k+a
と表される8分48-DS

n-x = (70a +216+15c) - ( 3k+α)
= 69a + 216 +15c -3k
=3(23a +7b+5c-k)
23a +76 +5c-kは整数であるから,n-x は
3の倍数である。
同様に,整数 x を 5,7で割ったときの余りが b
cであるから,xは整数 l, m を用いて
x=5146,x=7m+c
このとき
と表される。
このとき
n-x = (70a+216 +15c) - (51+b)
= 70a +206 +15c-51
=5(14a + 46 +3c-U),
n-x = (70a+216+15c) - (7m+c)
(2 821
= 70a + 216 +14c-7m
100g
= 7 (10a +36+2c-m)
14a +46+3c-l, 10a +36 +2c-mは整数であ
るから、n-xは5の倍数, かつ7の倍数である。
23,5,7は互いに素であるから, n-x は
3x5x7の倍数, すなわち105の倍数である。
したがって, n-xは105で割り切れる。
(2) Aさんの年齢をx歳とする。
n=70.1+21.3 + 15.4 = 193 とすると, (1) より,
ホ
n-x は 105で割り切れる。
よって, n-x=105k(kは整数)とおくと
x=n-105k=193-105k
USSOL
0≦x<105であるから, 0 ≦193-105k<105よ
り
k=1
したがって,Aさんの年齢は
193-10588 ( 歳)
zas

割り算の余り 整数の割り算 百五減算