Question

飛鳥

⑴から躓きました
帰納法使おうとしたのですが計算が間違っているのかn=1の時正しいということが証明できませんでした
教えてください

n=1,2,3, に対して,
とおく.
(1) L の値を求めよ。 さらに, すべての正の整数nに対して,
In+In+1=
が成り立つことを示せ.
(2) 不等式
が成り立つことを示せ.
(3)
n
1.- f₁ 1 + xdx
In = =So-
Jo
であることを示せ.
=
1
1
2(n+1)<」 n+1
8
1
n+1
n=1
_(-1)*-1 =log2
n
<In<

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

n=1のとき写真のようになり、成立します。

飛鳥

I_1の場合は部分積分でも解けますが、I_2の場合はマーカー部の変形をしないと解けませんよね？
この変形はx^2/(1+x)の積分をする時はこうするものとして覚えるんですか？

ブドウくん

L1もL2も両方とも、分数式は分母の次数が分子の次数より大きくなるように次数下げをしているというだけで何も変わらないです。筆算をしてもいいですが、こっちのほうがはやいと思います。
また、あまり何も考えず、n=1のときを質問どおりに解きましたが、写真のように直接示すのがはやいです。

ブドウくん

どうでもいい訂正ですが、L1、L2→I1、I2ですね。間違えました。

飛鳥

よく考えたら当たり前のことでした
丁寧に説明してくださってありがとうございました

Answer 2

カルロス

帰納法でも示せるかもしれませんが、I_n +I_n+1 は普通に計算できると思いますよ。普通に計算できるなら帰納法使わず普通に計算したほうがラクです。

飛鳥

確かにそうですね。
回答ありがとうございました