解答
基本
00000
(1) kaC=C- (n≧2,k=1, 2, ....... n) が成り立つことを証明せよ。
(2) (1+x) の展開式を利用して、次の等式を証明せよ。
(ア) Co+C1+nC2+...... + Cr+...... + Ca=2"
(イ) Co-Ci+Ca+(-1)'n Cr+......+(-1)""C=0
(ウ) Co-2C,+22+(-2)" nCr+......+(-2)""C"=(-1)"
BLAN 5 二項係数と等式の証明
(1) k.k
n!
r!(n-r)!
(1).C=
を利用して, kmC
Cをそれぞれ変形する。
(2)(ア) 二項定理 (p.13 基本事項 4) において, a=1, b=x とおくと
(1+x)"=C+Cx+aCx+......+...... Cax"
等式① と 与式の左辺を比べることにより,① の両辺でx=1 とおけばよいこと
に気づく。 同様にして, (イ), (ウ)ではに何を代入するかを考える。
=no
k!(n-k)!
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
(n-1)!
(k-1)! ((n-1)-(k-1)! =n.
ne-1CA-1=n·
したがって
knCk=nn-1Ck-1
(2) 二項定理により、 次の等式 ① が成り立つ。
よって
(ア) 等式 ① で, x=1 とおくと
よって
(イ)等式 ① で, x=-1 とおくと
n!=n(n-1)!
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
(1+x)"="Co+C1x+ C2x2+.....+Crx++nCx"
/p.13 基本事項
すべてのxの値に対して成り立つ。
①
(1+1)"="Co+" C1・1+C2・12+・・・・・・・1'+・・・・..+nCm・1"
Co+nC1+nC2+......+C+•••...+nCr=2"
(1−1)"="Co+nC2+(-1)+C2・(-1)^+......+.C.(-1)^+..+. C· (−1)"
ル Co-nC1+nC2-….....+(-1)'nCr+......+(-1)",C=0
よって
(ウ)等式①で,x=-2 とおくと
習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
5 (1) C₁-C₁+²+(-1) * - - - -
C2
nCn
1
22
2"
(1−2)"="Co+mC・(-2)+C2・(-2)+......+nCr. (-2)" +......+ C. (-2)"
Co-2nC1+22+(-2)" n Cr+......+(-2)""C=(-1)"
を素数とするとき, (1) から kpCh Dp-1C-1 (p≥2: k-1, 2,, p-1)
この式は C が必ずで割り切れることを示している。
2
(2) nが奇数のとき
„Co+,C2+..+,C-1=nC1+,C3+.....+,C,=2-1
(3) nが偶数のとき nCo+nC2+......+C=Ci+C3+..+Cn-」=2"-1
p.23 EX3
4 数学 ⅡI
[例題 5
(1+x)"="Co+mCx+......+n
x² + + С₁x" ...... ①
とする。
(1) ① の等式において, x=- 1/23 を代入すると
......+
(1/21)=nCot.C.(-/1/2)+c(-1/21)
2++,C,(-1/2/2)*
ゆえに no-sci +62....
C₁ n Cz
22
2月
······ + (-1)" nCn
(2) ① の等式において, x=1 を代入すると
2"="Co+mCi+nC2+......+nCm
① の等式において, x=-1 を代入すると
0=mCo-nC1+nCznCr
② +③ から 2"=2(Cot Cz+…+,C,-)
② ③ から 2"=2(nC1+Cs+ +mCn)
したがって
(3) ① の等式において, x=-1 を代入すると
Co+nC2+......+C-1=nC1+C3+...... + Cm=2n-1
0= Co-nC1+nC2+nCr
よって, ② +④ から
②④ から
...... 4
2=2 ("Co+nC2+..+nCr)
練習 (1) 101 の百万の位の数はである。
46 (2) 21400で割ったときの余りを求めよ。
(1) 101²=(1+100)の展開式の一般項は
(2)
2"=2(nC1+nC3+•••••• +nCm-1)
って
Co+nC2+......+nCn=nC1+C3+..+nCｶー) =2-1
15C・100=15CA102k (0≦k≦15)
15Co.10°=1
15C1-10²=1500
3
1
2"
15C2・10‘=105・10=1050000
15C3・10°=455・10°=455000000
k=0のとき
k=1のとき
k=2のとき
k=3のとき
15Ck 102k
k≧4のとき
ここで, 2k≧8 であるから, 百万の位の数は0である。
よって, 101の百万の位の数は
1+5=6
(2) (20+1)=2021+21C・2020 +21C2 2018 + +21C19202
+ 21C20 20+21C21
ここで, 201+21, 2018+
21を400で割ったときの余りは 21
=20²(201+21C1・2018 +21C2・2017+.... +21 C19)
+400+21
=400(201+2,C ・ 2018 + +21C19+1)+21
+21C1+1は整数であるから,
偶数、奇数に対し
最終の符号は
←は奇数であるから
(-1)=-1
← 2式とも (両辺) - 2
← は偶数であるから
(-1)"=1
← 2式とも (両辺) 2
[南山大)
[ 中央大】
←100²= (10") =
←15Co=1,10°=1
百万の位
← 1050000
← 455000000
←15C-10¹ C
10°は1億。
←C220+ C
= 21-20+1
=400+21
←21=400M+rの形。
(Mは整数 (10)
練習 正の整
$7
nを3で割
30
[1] n=3
n
3q-12
よって,
[2] n=3
n" +
= (3g-
=39+1
=3x(
よって
[3] n=
n" +
= (3q
39+2
+₁
=3x
ここ
230
(3
+
=3
(i)
(ii)
[1]-
n=
2をn乗しているから2で割ると
次数が-1になる
という解釈であっていますか？