- 発展例題 24 ばね振り子の力学的エネルギー。
図のように, 天井に固定された軽いばねに質量mのおも
りをつるしたところ, ばねが自然の長さから x だけ伸びた
点0で静止した。 おもりを下に引き, 点0からばねがαだ
け伸びた点Aで静かに放した。 重力加速度の大きさをgと
する｡
(1) このばねのばね定数はいくらか。
(2) おもりが点Oを通過するときの速さはいくらか。
(3) おもりが達する最高点の,点0からの高さはいくらか。
「考え方] 弾性力と重力による運動力学的エネルギーが保存される。E=K+U=一定
解答
(1) ばね定数をkとすると, 点0 での力のつりあいから,
kxo-mg=0 よって,k=mg
XCO
...1
(2)点を重力による位置エネルギーの基準とする。 点0でのお
もりの速さをひとすると,点A と点 0 での力学的エネルギーは
等しいから,
-meat
0+ (−mga) +1¹k (xo+a)² = mv² +0+kx²
3/2
k
①.②から1/2/ka²=1/12m² よって,v=aymm
1,
5. 仕事と力学的エネルギー 57
=a^
A
①③から12/2/ka²/12/2k.xよって、x=a
,
g
Xo
(3) 最高点では速さは0になる。最高点の点Oからの高さと
すると,点Aと最高点での力学的エネルギーは等しいから,
0+(-mga)+1/12k (x+a)^=0+mgx+1/2/k(x-xa)?
ACCESS
3 発展問題
37 仕事と運動エネルギー なめらかな水平面上に静
止する質量mの物体に, 一定の向きに大きさFの力を 2.Fo
加えたところ、物体は力の向きに直線運動をし, F と物
体の移動距離xとの関係は図のようになった。
(1) x=0~xo, x=x0~2xo, x=2x0~3xo, x=3x~4.xCo
FA
For
0
自然の長さ
200000000年
で
Xo
A
000000000
[補足]
(3) 点Oをおもりの変位
xの原点とし, 鉛直上
向きを正の向きとする。
このとき, 自然の長さ
の位置はx=x である。
0<x<xの場合:
ばねの伸びは x-x
xx の場合:
ばねの縮みはx360
⇒最高点の位置が
どちらの場合でも、
弾性力による位置エ
ネルギーは
k(x-x)²
頻出重要
2x 3.x 4.xo
x
