Question

嫻

求解謝謝

13) 設 O 為坐標原點,一直線L 過點 P(2,3)且與x軸、y軸正向交於A、B兩點,試求AOAB
面積的最小值為
當AOAB 有最小面積時,直線L的方程式為

Answer 1

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參考附圖
代數解：優點：解完m方程式就出來了 缺點：需討論m的範圍
用點斜式，設L: y-3=m(x-2)
y=0與x=0代入解得x截距=2-3/m >0,y截距=-2m+3>0 兩不等式聯立解得m<0
大三角形面積=(2-3/m)(-2m+3)/2=(-4m+6+6-9/m)/2=(4(-m)+9/(-m)+12)/2
由於-m>0，用算幾解得4(-m)+9/(-m)>=12
等號成立於4(-m)=9/(-m)=>m=-3/2
也可用截距式假設L，並用(2,3)代入求a,b關係式，再求最大值

幾何解：優點：易算 缺點：未知數較多
上下兩個小三角形相似
所以a:3=2:b (a,b>0)
ab=6, b=6/a
我們要求大三角形面積=(a+3)(b+2)/2的最小值
把b=6/a代入上式
大三角形面積=(a+3)(6/a+2)/2=(a+3)(3/a+1)=6+(a+9/a)
由於a>0，根據算幾不等式，a+9/a>=6
等號成立於若且唯若a=9/a，即a=3
b=2，再用截距式假設L的方程式為x/4+y/6=1

還有一種，秒算答案，但你必須先知道：若已知三角形頂點A相鄰兩邊所在直線，且知道有不在兩直線上的一點P位於第三邊「上」，則三角形面積的最小值發生在P為BC中點時，證明放在留言區

平行線截比例線段，易知2:(b+2)=1:2=>b=2
同理a=3，再以截距式假設方程

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證明如下

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