Question

ほのか

解答真ん中あたりの、式変形のやり方を教えてください。いつも筆算で割り算をしているのですが、それしか方法はないのですか？

例題251 面積の最大・最小〔2〕 ･･･ 放物線と法線
t> 0 とする。 放物線 C:y=x 上の点P(t, P2) における法線を1とする。
法線と放物線Cで囲まれる部分の面積S の最小値とそのときのもの値を
思考プロセス
208
求めよ。
法線･･・ 点Pを通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。
の構図 公式の利用
68
面積Sは
KM Action 放物線と直線で囲む面積は"(x-a)(x-B)dx = -12 (B-α) を用いよ
解y' = 2x より, 法線の方程式は
ICの共有点のx座標 α, β を求める。
α, β のうち1つは点Pのx座標t であることに注意する。
y-p= =-2/(x-1)
2t
よって
- 1/1/72x+²²2 +21/12/2
-x+t²+
2t
法線と放物線Cの共有点のx
1
1
座標は
x² ==
²+
2t
よって
例ゆえに
y-
これは2t
2+x+1²+ -
x=t, -t-
42
12/12(1+1/2)-013 (18-01/2+(1+2)=
·x-t²+
=
( x − 1) { x + (t + 1/ 1 )} = 0
より
2
1
2t
1
2t
Ve
したがって, Sは
1
s = [₁ ₂₁₂ {( - 2²/2 x + ² + ²/2 ) - x ²}dx
S=
-+- 24/1
2t
==
-- ₁ (x-1) { x + (1 + 2/1 ) } dx
2t
すなわち t =
=
P
t> 0 であるから,相加平均と相乗平均の関係より
3
5 - ²1 (2 + 1)² ² + +-(2√/2 - )
S = 2t+
2t-
6
2t
2t
t=
t
2
3
= 1 / { ₁ - ( - ₁ - 12/17)} ² = 1/- (2 t + 2²212) ²2
2t+
2t
11/12 のとき 最小値
14
3
のとき等号成立。
x
1
2(y-f(t) ==
例題244)
点P(t, f(t)) における
法線の方程式は
-(x-t)
f' (t)
lとCは点Pで交わるか
ら、この方程式は x = t
を解にもつ。
S²(x − a)(x − B)dx
= -1/-(6-a³²
==
Re Action 例題 68
k
[X+ ( X> 0) の最小
値は、(相加平均) ≧ (相乗
平均)を利用せよ」

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

因数分解をしていますね。
法線ℓと放物線Cの交点はPとQであるから、
x²＝(-1/2t)x+t²+1/2　の式は2次方程式になり、
Pのx＝tという点を通ることから、
この2次方程式はx＝tを必ず解に持つはずです。
よって、(x-t)という因数が現れるので、因数分解ができるように計算しています。場合によっては割り算することもあるでしょう。

＞　いつも筆算で割り算をしているのですが、それしか方法はないのすか？
たすき掛けだったりすることができるのなら、別に筆算をする必要はありません。

ほのか

ありがとうございます！(x-t)を因数に持つのは理解出来るのですが、因数分解されたこの綺麗な形にするのが難しいのです( т т )
特別簡単な方法は無いみたいなので頑張ります！