✨ 最佳解答 ✨
わかりにくかったらすいません
すいません、質問の意図がわからなくて…
何と何を比べる
という部分が掴めませんでしたm(_ _)m
( ※ ○>△に分けた不等式なら○と△を比べてるだけなんだよな〜っと思ってしまいました。が、飛鳥さんが言ってるのはおそらく違うと思ったので…)
黄色いマーカーの部分です。
このΣlog kと比較する∮log x dx は示す不等式から予想して作るものですよね？
なのでΣlog kと比較する式をどうやって見つけたらいいのか疑問に思いました。
わかりにくい文章ですみません。
まず不等式を見た際に両辺が今回は簡単な形で
∫logx = x logx -x +C
にnとn+1を代入してるのはすぐわかったので積分で考えることを選択しました。
積分で不等式を考える際、短冊と面積で比較する方法では、次の事を考えます。
Σlogk = log1 + log2 + … +logn
なので、高さlognの長方形がいつでるかに注意して式を立てると、定石として短冊の考え方は下の2パターンがあります。
・短冊が曲線の中に収まる場合 ⅰ)の場合
この時は、x=1,x=2, …, x = n+1 を考えた時に高さlognの長方形が出てくるのはx = n+1となるので積分の範囲は1〜n+1となってます。
・短冊が曲線の外に出てる場合 ⅱ)の場合
この時は、x=1,x=2, …, x = n+1 を考えた時に高さlognの長方形が出てくるのはx = nとなるので積分の範囲は1〜nとなってます。
わかりにくかったらすいません。
追記で
短冊が曲線の中に収まる場合は
Σlogk < ∫logx
(短冊の面積の和)<(曲線とx軸が作る面積)
短冊が曲線の外に出る場合は
Σlogk > ∫logx
(短冊の面積の和)>(曲線とx軸が作る面積)
となる事も図を書くとわかると思います。
最初に不等式の両辺がどんな式で表せるかを見極めることが必要なのですね？
その後は区分求積の2パターンの表し方を使って解くことが出来たからそれぞれの大小を比較したということでよろしいでしょうか？
不等式の証明方法を一般化して説明する
例えば、この形がきたら絶対にこの解法を使う
みたいな事はできないんですが、個人的に不等式を証明する際に積分での面積評価を使う事を考えるのは、
"与えられた不等式のΣ計算を直接計算できないとき"
と判断した場合です。
今回の場合は、その条件が整って かつ kをxに変えたときの定積分の計算が容易な形だったので、積分評価の方法を選択しています。
積分評価を用いる場合でも、与えられた不等式によって
1. Σ ○ < △
の形なら曲線から飛び出る短冊のみを
2. □ < Σ○
の形なら曲線の中に収まる短冊のみを
3. □ < Σ○ < △
なら1と2の両方を
といった証明になると思います。
短冊を考えるのは積分評価そのもの、もしくは積分評価する際のお約束だと考えてください。
積分評価には長方形を用いるものの他にも台形を用いるものなど色々な方法があるので適宜使い分けてといった感じになります。
詳しくは参考書などを見た方がいいと思います。
著作権の関係で自分の使っていた本は載せられないですm(_ _)m
わかりにくくてすいません。
わかりやすい解説ありがとうございました
細かく教えてくださってありがとうございます
わかりやすい解説ありがとうございます。
このような証明問題で赤線と青線のように分けてそれぞれ証明するのはわかるのですが、最初に何と何を比べたらいいかわからないのでコツ等あれば教えていただけないでしょうか？