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重要 例題 246 面積の相等
曲線 y=x-6x2+9xと直線y=mx で囲まれた2つの図形の面積が等しくなる。
ような定数mの値を求めよ。 ただし, 0m<9とする。
指針 右の図のように, 曲線 y=f(x) と直線y=g(x) で囲まれる2つ
の図形の面積について, Si=S2であるとき Si-S2=0 である。
Si-S.=$((x)-g(x)}dx-f(g(x)-∫(x)}dx
=$(f(x)-g(x)}dx+f,{f(x)-g(x)}dx
解答
曲線と直線の交点のx座標は,x-6x+9x=mx を解くと
x(x-3)2=mx から
x{(x-3)^-m}=0
0 <m<9であるから
x=0, 3± √m
ここで,3-√m=α, 3+√m =β とおくと
2つの図形の面積が等しくなるための条件は
=S(f(x)-g(x)}dx
ゆえに S{f(x)-g(x)}dx=0
ここで,交点のx座標のうち､真ん中のは求めなくてもよい(または使わない)ことになる。
S{(x-6x+9x)-mx)dx=f"(mx-(x-6x+9x)}dx
a
0<a<B
よって
£>7_[[{x²−6x² + (9-m)x]}dx-x² - 6x²
-
したがって xx(9-m)x}dx=0
I=0のとき,B=0であるから
3+√m=βを代入して
√m +3>0であるから
{x3-6x²+(9-m)x}dx=0
左辺の定積分を1とすると11/12-2x+
ya
4
Sy
β2-8β+2(9-m)=0
y=f(x)
S₂
1
y=mx
a
B2
1 - [x² - 2x² + 9 = m² x²] = B² (3²-8/3+2(9-m))
0
m+2√m-3=0
√m = 1 すなわちm=100<m<9を満たす)
38 1
Sp- Suf
よって (√m-1)(√m +3)=0
