Question

ぴ

これの最大値を場合分けして求めるのですが、求め方が分かりません。詳しく教えてください

応用
例題
3
考え方
Link
考察
解答
aは正の定数とする。 次の関数の最小値を求めよ。
y=x²-4x+1 (0≤x≤a)
前ページ応用例題2と違い, 定義域に文字αを含んでいるが,やはり
αを数と同じように扱う。
EMS22
y=x2-4x+1のグラフをかいた後、定義域の右端αがどこにあるか
考える必要がある。aの位置によって放物線の軸と定義域の位置関係
が変わるから,どこで最小値をとるかも変わる。
よって、その位置関係によって場合分けをする必要がある。
y=(x-2)²-3 (0≦x≦a)
関数の式を変形すると
CHOO
[1] 0<a<2のとき
関数のグラフは図 [1] の実線部分である。
SC
よって, y は x = α で最小値 α² - 4α +1 をとる。
より、
[2] 2≦α のとき
do
関数のグラフは図 [2] の実線部分である。
よって, yはx=2で最小値-3 をとる。
FSHO
0<a<2のとき x=α で最小値 α²-4a+1
2≦a のとき
x=2で最小値-3
[1] Ay
a²-4a+1
-3
a 2
x
[2] AY
V
a²-4a+1
-3
JOARI
24
2
1
1
a
1/
1 []
"
FAR
x
10
15

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

st

これは下に凸のグラフなので場合分けとしては①定義域の左側で最大となる。②定義域の両端で最大となる。(＝頂点から定義域までの距離が左側へも右側も同じの時)③定義域の右側で最大となる。
この3パターンです。今回は定義域の左側が固定されているのでどれだけ右側に広げたら①〜③になるかを考えたら良いです。
自分的には②を考えてから①、③を考えると数値を見つけやすいと思います。

ぴ

回答ありがとうございます✨なぜ不等号にイコールがついてはいけないのかよく分からないのですが、なぜですか？？

Answer 2

st

0<a<2のとき。まずは0≦x≦aなのでaが0だと定義域がなくなってしまうのでイコールはなし。
次にa=2のときは頂点で最小値となるので最小となるx座標が変わるのでイコールは付けません。

ぴ

最小となるx座標が変わるというのは、どういうことですか？？

st

0<a<2の時はx=aで最小になりますが、2が範囲に入ると頂点で最小となるのでx=2で最小となります。

ぴ

そういうことですね！ありがとうございました✨