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重要 例題 28 外心の位置ベクトル
△ABCにおいて, AB=4, AC=5,BC=6とし,外心をOとする。 AOをAl
[類 早稲田大]
AC を用いて表せ。
指針 三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点であるから、右図の
ABIMO, ACINO
al
△ABCの外心0に対して
これをベクトルの条件に直すと
ABIMO, ACINO
よって、AD=sAB+ACとして AB-MO=0, AC-NO=0から、
stの値を求める。
解答
辺AB, 辺ACの中点をそれぞれ M, N とする。
ただし, △ABCは直角三角形ではないから, 2点 M, N はと
もに点Oとは一致しない。
点 Oは△ABCの外心であるから
ABIMO, ACINO
ゆえに AB MO=0, AC.NO=0
AQ=sAB+tAC (s,tは実数)とすると AB-MO-0 から
AB(AO-AM)=0
よってAB.(s-1/2) AB+LAC}=0
また, AC-NO=0 から
ゆえに AC{sAB+(1-1/21) AC}=0
ここで
よって
ゆえに AB-AC=1/
したがって
AC・(AO-AN)=
6°=5²-2AB・AC+4°
|BC|=|AC-AB=|AC-2AB・AC+|AB
2
よって、①から(s-1/2)×1+1×2/27=0
すなわち
32s+5t=16
また,②から
すなわち
③ ④ から
SX
s+10t=5
******
sx/1/2+(1-1/2)×5°= 0
.......
......
16
7' 35
AO=AB+ AC
35
①
B
M.
最大辺はBCであり
BC AB²+AC²
直角三角形の外心 0
(外接円の中心) は、斜辺の中
点と一致する。
(S-JABP
+tAB-AC=0
SABAC
+(+-)|ACI=0
F
と
