練習 ∠B=90°, AB=5,BC=10の△ABCがある。 いま, 点Pが頂点Bから出発して辺AB上を
毎分1の速さでAまで進む。また、点QはPと同時に頂点Cから出発して辺 BC 上を毎分2
の速さでBまで進む。このとき, 2点P, Q間の距離が最小になるときのPQ間の距離を求め
②88
よ｡
HINT 出発して1分後の距離 PQ について, PQ を t の2次式で表す。 三平方の定理を利用。
B
出発して分後において
BP=t, CQ=2t
よって
BQ=10-2t
ここで,0≦t≦5,0≦t≦10である
0≤t≤5
①
から
よって
......
PQ2=BP2+BQ²
=t2+(10-2t)2
=5t²-40t+100
=5(t-4)²+20
ゆえに、①の範囲において, PQ2は
t=4のとき最小値20 をとる。
PQ≧0であるから, PQ2が最小にな
るとき, PQも最小となる。
よって, 求める P, Q間の距離は
5
PQ2
100%
20
| 最小
10.
√20=2√5
2t
0 45
t
← 0≦BP≦BA
0≤CQ≤CB
←三平方の定理
←5t²-40t+100
=5(t²-8t)+100
= 5(t-4)²-5-4²+100
08
1+(1-2)2=
←この断りは重要。
