Question

こんにゃく

微分、接線に関する問題についての質問です。
※添付写真の黄色マーカー箇所が主な疑問点になります。

■95-(2)の疑問点
①2t^3-3at^2+a+b=0 は何を表していますか。
　点A(a,b)を通る接線の式なのかなと思ったのですが自信がありません。。

②「a≠0は極値をもつための条件」とありますが、
　これは「a=0 つまりt=0 と同じ値だと重解をもつこととなる→極値をもたないことになってしまう」
　からであると考えているのですが、この理解で合っていますでしょうか。

■95-(3)の疑問点
・a+b=0から(*)の式がt^2(2t-3a)=0となるのはわかるのですが
　t^2(2t-3a)=0という式と、そこから導かれるt=0とt=3a/2が何を意味しているのかがわかりません。

こういう場で質問するのが初めてなので緊張していますが
答えていただけると嬉しいです！
よろしくお願いします。

基礎問
150
第6章 微分法と積分法
95 接線の本数
曲線C:y=x-x 上の点をT(t, B-t) とする.
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2) A(α, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ.ただし,α> 0, b≠α-α とする.
(3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなα, b の値を求めよ.
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し
ます. だから, (1)の接線にA(α, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです.
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します.
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。
解答
(1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t)
∴.y=(3t²-1)x-2t3
(2) (1) 接線は A(a, b) を通るので
6=(3t2−1)a-2t3
∴.2t3-3a2+a+b=0....... (*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので
g(t)=2t3-3at2+α+ 6 とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち,
( 極大値)×(極小値)=0 であればよい.
94 注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
185
7
A(a,b) ↓
す
演

係式
よ.
と一致し
の3次方
のときの
交する」
ですから,
T
(t,t³-t)
fa≠0
lg(0)g(a)=0
参考
b=α-a, a>0 だから, a+b=0
(3) (2)のとき(*) より, t2(2t-3a) = 0
ポイント
2本の接線の傾きは f'(0)
3a
(0)/(22)=-1
a²2=
8
27
a>0より、a=-
演習問題 95
a=0
2√ 6
9
[(a+b)(b-a³+a)=0
a=0だとt=0と151
同じになり三重解
..
6= 2√√√6
9
t=0,2²2²aは何を示すのか。
3a
f (22) だから,直交する条件より
(-1)(a²-1)=-1
⇒極道をもたない・・・?
<a≠0 は極値をもつ
ための条件
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
接点の個数と一致する
3次曲線Cの変曲点 (88)
における接線をひと
するとき,
・斜線部分と変曲点からは1本引ける
・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
で
曲線 y=x-6x に点A(2, p) から接線を引くとき、次の問いに
答えよ.
(1) 曲線上の点T (t, ピー 6t) における接線の方程式を求めよ.
pt で表せ.
(2)
(3) 点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ.
第6章

微分 接線

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

沢木陽織

・(2)について
①多分なんとなくはご理解なさっているのだと思いますが、「接線の式」というのは正確な言い方ではありません。(＊)の式にはxもyも出てきませんので。
正確には、「Tにおける接線がAを通るための、tに関する条件式」といえます。
つまり、もしtが(＊)を満たすような値ならT(t,f(t))における接線はAを通るし、逆にtが(＊)を満たさないような値ならTにおける接線はAを通らないということです。
②これもなんとなくはご理解なさっているのだと思いますが、テキストに書き込まれている「三重解」というのが正しくありません。
まず第一に、求めたい条件は、「Aを通る接線が2つ存在する」→「『Tを通る接線がAを通る』という条件を満たすTが2つ存在する」→「(＊)を満たすtが2つ存在する」と言い換えられます。
そして、(＊)が2つ実数解を持つのは、g(t)が添付画像のg1(t)やg2(t)のようになる時なので、少なくともg(t)は、上がって→下がって→また上がるという動きをする、つまりg'(t)が+→-→+という動きをする必要があるわけです。a=0ですと、g'(t)=6t^2で常に0以上ですから、この時のg(t)は画像のg3(t)のように常に増加する(極値を持たないというのはつまりこのことを言いたい)ことになり、不適ということになります。
・(3)について
ここまでの解説で書いたように、(＊)は、「これを満たすようなTから引いた接線がAを通るよ」ということを表す式です。つまり、t^2(2t-3a)=0は、「Aを通る接線が2本存在するときの、Tにおける接線がAを通るための条件」と言えます。
よって、これの解0,3a/2は、「T(0,f(0))と(3a/2,f(3a/2))から引いた接線はそれぞれAを通るよ」ということを表しているわけです。
めっちゃ長くなっちゃいましたごめんなさい🙇‍♂️
もし解説の中で分からないことがあればまた仰ってください。

こんにゃく

モヤモヤしていた部分が理解ができました😭
とくに、「Tにおける接線がAを通るための、tに関する"条件式"」という考え方が欠落していたなと気がつけました。
あらためて問題に向き合ってみます。
丁寧にご回答くださり本当にありがとうございました！

p.s.
g1(t)、g2(t)、g3(t)というのは、沢木さまが書き起こしてくださったものでしょうか。(自分が貼った添付画像にはこれらはないかな…？と思い！)
せっかくなのでこの部分も拝見したいなという思いがあります。
もしお時間があればでかまいませんので、教えていただけるとうれしいです。

沢木陽織

あっ画像貼り忘れてましたね、ごめんなさい🙏💦
特に大したことは書いていませんが、添付しようと思っていた画像はこちらになります。(スマホに指で描いているので見づらいと思いますがご容赦ください)
(＊)の解が2つになる条件は、g1(t)のように極小値のところでx軸に接するか、g2(t)のように極大値のところでx軸に接するかのどちらかの時なので、「極大値=0または極小値=0」→「極大値×極小値=0」と言えるわけですね。

こんにゃく

画像お送りいただきありがとうございます。
(スマホに指で描かれたものとは思えないくらいきれいな図でびっくりしました…！)

「極大値=0または極小値=0」→ 「極大値×極小値=0」のところは、
テキストの「極大値×極小値=0…実数解2個」という記載を見て自分なりに解釈していた箇所だったので、沢木さまのコメントで確信が持てて安心できました。

本当にありがとうございました🙇‍♀️