Physics
高中
已解決
斜面への斜方投射の問題です。
⑷の別解がよくわかりません。
なぜ斜面に衝突する時刻がt ₁ の二倍になるのですか？
どなたか優しい人教えてください🙇♂️
7. 〈斜面への斜方投射〉
図のように水平と角度0(>0) をなす斜面上の原点 0
から、斜面と角度αをなす方向に初速 vo で質量mの小
球を投射した。 原点から斜面にそって上向きにx軸を,
斜面から垂直方向上向きにy軸をとる。 斜面はなめらか
で十分に長いものとする。 重力加速度の大きさをgとし,
空気抵抗はないものとする。 また, 角度0とαは
π
0 <6+α< 1 の関係を満たすものとする。
y
vo
a
m
0
① 等加速度運動 7
小球を投射した時刻を t=0 とし, 小球が斜面に衝突するまでの運動について考える。
(1) 小球にはたらく重力のx成分, y成分を示せ。
(2) 時刻t における小球の速度のx成分, y成分を示せ。
(3) 時刻 t における小球の位置のx座標、y座標を示せ。
(4) 小球が斜面と衝突する時刻を求めよ。
(5) 小球が斜面と衝突する点の原点Oからの距離を求めよ。
(6) 距離Zが最大となる角度 αを求めよ。
小球が斜面に対して垂直に衝突した場合について考える。
(7) 角度α と 0 の関係式を求めよ。
(8) 小球が斜面に衝突する直前の速さを0を用いて表せ。
044
[18 横浜市大 改〕
H
小
角
小
(1
**
つれ
-1
1
/
0
2
ヒント 7 <斜面への斜方投射〉
(1)~(3)斜面にそう方向にx軸, 斜面に垂直な方向にy軸をとり,それぞれの方向に運動を分解して調べると,x軸方向
には初速度 VoxDoCosα, 加速度 αx=-gsine, y 軸方向には初速度 Doy = Vosinα, 加速度 αy=-gCOSA でそれぞ
れ等加速度運動する｡
(4) 斜面と衝突するとき, 小球のy座標は0になる。
(7) 「斜面に対して垂直に衝突」 小球の速度x成分ひx は 0
(1) 小球にはたらく重力のx成分(Wx), y 成分 (W) は, 図a より
Wx=-mgsin O
Wy=-mgcos
(2) 小球の加速度のx 成分 (ax), y成分 (ay) は, 運動方程式 「ma=F」 より
max=Wx=-mgsin0 よって ax=-gsin 0
may=Wy=-mgcost よってay=-gcose
となる。 また大きさの小球の初速度のx成分 (Vox), y成分 (voy) は, 図 a
より
Vox Vo COs a
voy = vosina
である。 小球はx 方向, y方向にそれぞれ等加速度運動をするので, 等加速
度運動の式 「v=vo+at」 より 時刻における小球の速度のx成分 (vx), y
成分 (vy) は
Vx=vox+axt = vocosa-gsin Ot
vy = Voy+ayt=vosina-gcosAt
(3) 等加速度運動の式「x=vot + 1/2zat²」より時刻tにおける小球の位置x,y
は
x = voxt+
y=voyt+1/23ay2=vosinat-1/12gcos0.12
(4) 小球が斜面に衝突するとき, 求める時刻を to とすると,④式より
y=0=vosinato-12gcos0・t?
=to (tosina-gcosto)
2
2v sina *A
=
to >0 より
gcoso
(5) (4) to , ③式に代入すると
l=vocosato--
- 1/29sine-to2
2% sina
gcoso
(cos Acosa-sin Osina)
12 axt² = vo
= Vo COS α.
vo
to=-
2vo² sina
g cos²0
200²
gcos2
2002
2vo² sina
g cos²0
2a+0=
9=7/
Vo
Vo cos a t-.
-gsino-1²
･sinacos (0+α)
gcosag(sin(a+0+α)+sin(a−0−a)}※D←
よって
gcosag(sin(2a+0) - sin 0}
(6) ⑥式より, sin(2α+0)=1のとき, 距離Iが最大になるので
0
よってa-7-12/2
a=-
4
2vosinα \2
gcos o
6 物理重要問題集
sine (2
cos (0+a)* B *C←
Voy=Vosina
B 公式
cos (a + B)
W.
1
A 別解 y座標が最大値
をとる時刻をとすると、 最
大値では, vy=0 であるので
Vy=vo sina-gcos0.t₁=0
vosina
g cos 0
=-
よって
斜面に衝突する時刻は
の2倍なので
2v sina
to=2t₁=-
gcos o
Vo
mgl-
VoVocosa
図 a
= cos a cos β-sin asin β
を用いた。
←C 別解
1=
(0+a)
図 b
図bより 時刻 to において,
小球が水平方向に進んだ距離
Lは,小球の水平方向の運動
が初速度 COS (+α) の等
速直線運動であるので
L=vocos(θ+α) to
= Vocos (0+ a)-
t=t
Lと求める!の関係は
1=
L
cos
以上より
2vo² sina
gcos2o
2v sina
gcoso
D 公式
sinacos B
-cos (0+ a)
=1/12 (sin(a+β)+sin(a-B))
を用いた。
解答
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