Question

やまもと ばなな🐤

（1）です
b≠0と仮定する理由が分かりません。
どなたか教えてください！

解答
106 背理法 (2)
bが有理数のとき, 次の問いに答えよ.ただし,√2が無理数である
a.
ことを用いてもよい。
(1) a+6√2=0 ならば, α = 0 かつ 6=0 であることを背理法を用い
て証明せよ.
(2)
a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 を満たす a b の値を求めよ.
考え方 (1) 2 が無理数であるという条件を利用できるよう, まず 6=0 と仮定する.
(2) (1) の結果を利用する.
(1) b=0と仮定する.
a+b√2=0 より
√√2
ここで,a,bは有理数より
も有理数となる
が、このことは√2が無理数であることに矛盾する.
したがって, b=0 である.
これをa+b√2=0 に代入して
よって, α, bが有理数のとき,
a
b
である.
a+b√2=0 ならば、a=0 かつb=0
(2)a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2
2a+√2+6-6√2-5-4√2=0
PE
a=0
(2a+b-5)+(a-b-4)√2 = 0
a b が有理数より, 2a+6-5,α-6-4 も有理数
となる.
したがって. (1) より.
よって,これを解いて
[2a+6-5=0
la-6-4=0
HEBER
a=3, b=-1
ITO
無数の
3 命題と証明 20
NO
この時点では 「b=
あることしか導/
いないので、こ
「b=0」 を用い
「α=0」 を導く
√2について
2a+b-5, c
がともに有
るる
ることを必
る。

背理法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

じゅり

√2＝の形にしたい！とまず考えてみると、bでわった分数をつくりたいと考えます。
分母は絶対0になったらダメなので、ここでbが0にはならないと仮定することになります！

Answer 2

GL

ちょっと変な解答ですね.
場合分けだと思ってもらうと良いと思います.

b=0のとき, a=0が導かれるので, 命題は真です.
b≠0のときはどうでしょうか. ここで, 命題
「a+b√2=0を満たす有理数a, bが存在する」
を考えます. これは背理法から偽であることが分かります. (解答ではこの背理法によってb=0であるとしていますが間違いです)
示すべき命題の対偶は
「a≠0またはb≠0ならば, a+b√2≠0」
です. b≠0のとき, 先ほど示した命題より真です. a ≠0のときも, 真であることが示せます. よって, この命題は真です.
(対偶を取らなくても, 命題の前提が偽であることから, 与えられた命題が真であることがいえます: https://ja.m.wikipedia.org/wiki/論理包含 の性質を参照)

以上より, どの場合でも与えられた命題は真です.

GL

> 解答ではこの背理法によってb=0であるとしていますが間違いです
と書きましたが, そうとも言えないですね.
「b≠0ならば, a+b√2=0を満たす有理数a, bが存在しない」
が真であることを示したので, 対偶
「有理数a, bがa+b√2=0を満たすならば, b=0」
も真です.
なので, 解答の「b=0である」は(言葉足らずですが)正しい主張です.

GL

解答は, 以下の1つ目の⇒を前半で, 2つ目の⇒を後半で示しています.

a+b√2=0 ⇒ b=0 ⇒ a=0 かつ b=0