Mathematics
高中

普通に解けるものを置換積分してしまいました。それでもなぜ答えが違ってしまったのか教えて欲しいです。積分定数は省略させて頂きます。
∫[1/(x-1)²]dx①
これをパッとやればもちろん-1/(x-1)で、原始関数の分母がx-1だと理解していたのになぜか置換積分の方がいいかなとなってしまい、x-1=tと置いて、(x-1)²=t²
x²-2x+1=t²,2(x-1)dx=2tdt,dx=tdt/(x-1)と進めて、
①=1/(x-1)∫tdt/t²=1/(x-1)∫dt/t=log|x-1|/(x-1)
こうなってしまいました。どう考えても遠回りなやり方だとはわかっていますが、どちらにしても答えが同じになるはずですよね?自分の置換積分の過程のどこかが間違っているのだろうなと思いますが分からないので教えてください。

解答

✨ 最佳解答 ✨

計算ミスが起こってるのは①=1/(x-1)∫tdt/t²の部分です。xは積分に関係しているので、1/(1-x)は積分の外に出して計算してはダメです。1/√tと変形すると答えは出ると思います。

えい

tと置換しているので関係ないから出していいや!とか思っていましたがダメなのですね。勉強になりました。

1/√tとはどこから出たのでしょうか?すみません何度も

しがない医学生

ごめんなさい。1/√tではなくて1/tでした。

しがない医学生

1-x = tとなっているので1/(1-x) = 1/tですね

えい

そもそもtって置いたことで余計複雑にしてるだけでした。今教えてくださった通り1/tを代入してみたら結局∫dt/t²になってそのままでした笑

ありがとうございました!

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