Question

Ha_tig

数学IIです。
矢印以降から矢印終わりまでの過程の考え方が分かりません。解説をお願いします。

重要 例題 110 領域と最大･最小 (2)
00000
座標平面上の点P(x, y) が 4x+y≦9, x+2y≧4, 2x-3y≧-6 の範囲を
動くとき, x2+y2 の最大値と最小値を求めよ。
[類 京都大]
基本107
9
167

・
最小値を求める。
解答
与えられた連立不等式の表す領域Dは,
3点A(2, 1), B(0, 2), (12/3,3)を頂
点とする三角形の周および内部である。
x2+y²=k(k>0) ・① とおくと,
k=OC² = (2) ³²₁ +3²=
①は原点を中心とし半径
の円を
表す。 この円 ① が領域Dと共有点を
もつようなんの値の最大値と最小値を
求めればよい。
①図から、円①がC(2.3)を通るときは最大で
45
4
-y↑
円 ① がこの点を通るとき, kは最小で
2 8 16
k=
+
5
=
B(0,2)
C (-2/2,3)
......
また,図から円 ① が直線 AB:y=-x+2 ② に接す
るときが最小になる。
接点の座標は,原点を通り直線②に垂直な直線y=2x と, 直
4 8
線 ② の交点であるから (x,y)=(1/12 5
?
A(2,1)
45
よって、x+yはx=12/23y=3のとき最大値
x
■境界線の交点A,B,C
の座標はそれぞれ次の
連立方程式を解くと得
られる
(A)
4
x=1/13, y=21/2のとき最小値 2106をとる。
5
(B)
4x+y=9
x+2y=4
|x+2y=4
|2x-3y=-6
|2x-3y=-6
[4x+y=9
(C)
[別解 (最小値について)
① ② から x を消去すると
5y2-16y+16-k=0... ③
円 ① が直線② に接するた
めの条件は、判別式をDと
すると D=0
1=(-82-5(16-k)
=5k-16
であるから k=1/06
5
このとき、③の重解は
y=
よって、②から x = 1/23
x=1/
5
したがって x = 1/3
2'
をとり,
16
y=1のとき最小値 150
3章
14
不等式の表す領域