Question

ゆー

求める条件のx=0を解にもつというのは、なぜ求める条件に入っているのですか？

326
重要 例題 210 4 次関数が極大値をもたない条件
関数f(x)=x^- 8x3+ 18kx" が極大値をもたないとき, 定数の値の範囲を求め
[福島大]
よ。
指針 4 次関数f(x)がx=pで極大値をもつ
x=カの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる
であるから、 f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考
える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす
るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。
解答
f'(x)=4x²-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k)
f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の
前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。
このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。
f'(x)=0 とすると
よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0
[1] 重解または虚数解をもつ
[1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると
D
tala
または x2-6x+9k=0
x=0
=(-3)²-9k=9(1-k) であるから 1-k≦0
極
(土)
[2]x=0を解にもつ
D
よって
k≧1
[2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると
したがって
PES
k=0,k≧1
(日)
a B Y
① 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解
(a <B<y とする)
a=β<y, a<β=y
a=By
ww
極
極
a B=y
x
p
f'(x) + 0
極大
f(x)
k≥1
k=0
10)8-89-18
A=8+b
k=0=8-³(80) (8
α
③ 1つの実数解と
YA k>
O
(+1
)
=(ニュー(デ
[参考] [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [4次の係数は正] に対し,f'(x)=0
は3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、 他の2つの解が実
数であれば β, y とする。 この解は次の4つの場合がある ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が
A= (0-1)A 20087 18-0
逆になり, 極大と極小が入れ替わる)。
α
基本 203207
0
異なる2つの虚数解
W
|極
極
小
3
YASET
|k=1
x
/6x
極
小
練習 f(x)=x^+4x3+ax² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
4 210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。
Cp.327 EX137
Ⓡ13
② 13
③1
E

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

まさ

f'(x)=4x(x^2-6x+9k)からx=0を解に持つことは確定しています。

ここで x^2-6x+9k=0 が 重解または虚数解を持つ時は解答の右上図のようなグラフになり、x=0を解に持つ時は右下図のようなグラフになります。
言い換えると、「f'(x)はx=0を重解に持ち、もう一つの実数解を持つ」という条件になり異なる3つの実数解をもたないことになります。

質問の条件を入れない場合は「x=0と異なる二つの実数解をもつ」というパターンが存在する可能性が出てくるため、極大値をもたないときの条件として質問の条件を入れる必要があります。

ゆー

なるほど！ありがとうございます！