Question

ほのか

(1)、(2)共に最後の答えがそれぞれ=0、=1/2^nになるのかがわかりません。解説お願い致します。

例題6
二項係数の性質
(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(1) Co-nC1+nC2-...+(-1)"-17Cμ-1+(-1)""C=0
思考プロセス
C1
(2) nCo - n₁ + ₂ ... + (−1)n-1 nCn-¹ + (−1)n "Cr
nC2
n Cn
·
2
22
·
2n-1
2n
Action》二項係数の和は,(1+x)” の展開式を利用せよ
解 二項定理を用いて, (1+x)" を展開すると
例題 (1+x)" = nCo+nC1x+nC2x2+...
4
二項定理により
(1+x)" = nCo.1"+nC1・1n-1・x+nC2・1n-2・x2+ +nCn-1・1・xn-1+nCn.xn
すなわち nCo+nC1x+nC2x2+..+nCn-1xn-1+nCnx" = (1 + x)"
... 1
逆向きに考える
証明する式は,① の左辺のxに何を代入したものか?
(1) ① に x = -1 を代入すると
よって
(1−1)=nCo+"C1(-1)+nC2(-1)2 + ...
...
(2) ① にx=
n Co-
よって
nCo-nC1+nC2-‥‥.+(-1)-1nCn−1+(-1)"nCn=0
を代入すると
n C₁
+
nCe
+nCn-1xn-1+nCnxn
2
(1-1/21)=no+,C,(-1/2)+c(-1/21)
2+
nCo+nC₁
+・
2 22
...
-...
+nCn-1(-1)*-1+nCx (-1)"
... 1
・+(-1)^-1.
n-1 nСn-1
n-1
n
+nCn-1 (-1/2) + C₂ (-12).
n
Cn-1 + (-1)" "C
nCn
22-1
2
..
=
2n
1
2n
(1+x)" の展開式の一般
項は nCrx" である。
☆★
1① はどのようなxの値
についても成り立つ。
rが偶数のとき
(−1)″ = 1
rが奇数のとき
(−1)² = −1
??
・整式・分数式の計算

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

南澄

(1)(2)共に「よって〜」の一つ上の文章は理解されていますよね？それをただ左辺と右辺逆にしただけですよ。

ほのか

なるほど！！ありがとうございます😭