基本例題 61 背理法による証明
P.102 基本事項図
√7 が無理数であることを用いて, 5 +√7 は無理数であることを証明せよ。
指針 無理数である (=有理数でない)ことを直接示すのは困難。
そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して,
矛盾を導き、その事柄が成り立つことを証明する方法,
すなわち 背理法で証明する。
CHART 背理法
√5 +√7 が無理数でないと仮定する。
解答 このとき √5 +√7 は有理数であるから, rを有理数とし
て√5+√7 とおくと 5=r-√7
両辺を2乗して
5=r²-2√7r+7
ゆえに
2√7r=x2+2
r=0 であるから
r2+2
√√7=
.....AS
2r
PUTERI
r2 +2, 2r は有理数であるから、①の右辺も有理数であ
る(*)
O
・実数・
よって①から7は有理数となり √7 が無理数である
ことに矛盾する。
+(\+ã÷1ã)E=(§+\£)(1+
したがって5+√7 は無理数である。
無理数
直接がだめなら間接で 背理法
「でない」、「少なくとも1つ」の証明に有効
5 +√7 は実数であり、
無理数でないと仮定して
いるから, 有理数である。
20
2乗して, √5 を消す。
(*) 有理数の和差・積・
商は有理数である。
FIE=d
有理数
do
矛盾が生
が生じた
の仮定, すなわち,
[180円(+16(+8かる。
初め
じたから,
「√5 +√7が無理数で
ない」 が誤りだったと
