124 第2章 2次関数 S
完全平方式
例題56
(1) ( )で表される式を完全平方式という.xの2次式
x+2ax+a+6 が完全平方式となるように、 定数
全平方式で表せ.
例
(2) xx-2y2+5x+ay+6 がx,yの1次式の積となるように
数αの値を定め, 因数分解せよ.
0
考え方 (1) (与式)=0 の判別式 D=0(与式)=(x-α)を利用する。
(2)
の2次式とみて式変形してみる.
(1)x+2ax+a+6=0 とおいたときの判別式をDとすると、
解答
D=0のとき、左辺は完全平方式となる。
201
=a²-(a+6)
=(a+2)(a-3)=0 より,a=-2, 3
a=-2のとき(与式)=x2-4x+4=(x-2)2
a=3のとき(与式)=x2+6x+9=(x+3)2-XD) (I-
(2) xの2次方程式x-xy-2y2+5x+ay+6=0....... ①
の判別式をDとすると,①の解は,
吉y-5±√D
s=2([+b)(
x2(y-5)x-2y2+αy+6=0 より, x=2
したがって, 与式は, (Sa+2)=50²+2a
y-5+√D
y-5-√ Dos
与式=
x-
2+1
と式変形できる。 +1)+5g 29g+12
- D={-(y-5)}^-4(-2y^+ay +6)
=y²-10y+25+8y²-4ay-24
=9y²-2(2a+5)y+1-(Sa+2)+(2+1) tv (±=
したがって, 与式がx,yの1次式の積になるのは、
根号の中のDがyの完全平方式となるときである.
つまり, 9y²-2(2a+5)y+1=0 の判別式をDと
すると、求める条件は, Di=0 である。
Di
¹=(2a+5)²-9-1=0
PT3.50 1-<
4
(24+5+3)(2a+5-3)=0 より, a=-4,-1
a=-4 のとき(与式)=x-(y-5)x-2y²-4y+6
とみ
=x-(y-5)x-2(y-1)(y+3) (与
a=-1のとき、(与式)=x-(y-5) x-2y2-y+6
=*
与式
=(x+y+3)(x−2y+2)
=(2
=x²-(y-5)x-(y+2)(2y-3)*
X
=(x+y+2)(x-2y+3) 定し
x2+axy+3y²-3x-5y+2がx,yの1次式の移
定めよ.
練習
56
****
[LI
左辺は(
左辺を整
の公式を
ax²+b
2つの
とき、
a(x-
Dが
VD=
次は
