Question

じゃ

この問題を数3の三角関数の微分の知識を使い解き方を教えて欲しいです

OO000
基本例題 187 三角関数の最大·最小(微分利用)
0<x<2xのとき, 関数 y=2sinxsin2x-COSXT2 の最大値と最小体
よびそのときのxの値を求めよ。
282
お
【宮城教育大)
基本 125,185
CHARTO
2倍角を含む三角関数 1つの三角関数で表す
2倍角の公式 sin2x=2sinxcosx,相互関係 sin'x+cos"x=1 を用いて
だけの式で表す。
cos.x=t とおくと, yはtの3次関数となる。 !
なお,tの変域はxの変域とは異なることに注意。(か.192 基本例題 125 参照)
OLUTION
y=2sinx·2sin.xcos.x-cos.x+2=4sin'xcos.x-cos.x+2
=4(1-cos'x)cos.x-cos.x+2=-4cos"x+3cos.x+2
coS.x=t とおくと, OSx<2π であるから
『yを!で表すと,y=-4t°+3t+2 であり
y=-12°+3=-3(2t+1)(2t-1)
合おき換えによって,とり
うる値の範囲も変わる。
-1Sts1
y=0 とすると
t-1| …
1
2
2
1
y
0
0
-1StS1 におけるy
の増減表は右のように
なる。
y
3
Oる 0nf. 3倍角の公式利用
よって,yは t=-1, 号で最大値 3,
cos 3x=-3cos.x+4cos'x
から y=-cos3x+2
-1Scos 3xS1 から
最大値3, 最小値1
21
0Sx<2x であるから
t=-, 1 で最小値1をとる。
る
t=-1 のとき x=π;t=; のとき x=%, ;
-1
-のとき x%=D今t, :t=1のとき x=0
-π 5
2
* cosx=-1から x=ズ
から
したがって
x= , で最大値3,
coSx=
2
5
x=
大阪1は
*=0,
て,で最小値1をとる。
から
COSX=-
3た
x=
Cos.x=1 からx=0
PRACTICE… 187®
0S0s2r T
eB1

数学 数3 大学受験 微分

Answer 1

aporon

微分して増減表かけばいいかと

じゃ

それはわかっているんですが上手く書けないので解いてみて欲しいです！

aporon

微分して、f'(x)=0になるxの値は求められましたか？

じゃ

1±√19/4
と出ましたけど計算合わなかったです

aporon

どーやってだしましたか！？

じゃ

微分して整理して出しただけですが面倒臭い計算なので合ってるかわからないですよ

じゃ

2倍角で全部同じ角度に直して積の微分とかで求めました！

aporon

微分してから整理した方がスッキリするかと思いますよ
計算過程あげてもらってもいいですか？

じゃ

計算してた裏紙無くして今もう1回計算し直したらすごい綺麗になりました！

aporon

このsinxを自然と割ってるけど、大丈夫なのだろうか？

じゃ

sinxが0出ない事を証明してないからダメそうですね気づかなかったです
ではどうやって求めればいいんでしょうか...

aporon

素晴らしいですね
ただ、今回の問題はsinx=0になることも考えられます。
単純にsinx(8cos²x-4sin²x+1)=0ならsinx=0または8cos²x-4sin²x+1=0とすればいいだけですね

じゃ

なるほど！x=π/2 3π/2 π/3 2π/3
と求まったんですが次は何をすればいいんでしょうか

aporon

sinx=0のときのxの値はどーなりました？

じゃ

π/2 3π/2 です！

8cos²x-4sin²x+1=0の時がπ/3 2π/3
になりました

aporon

違いますね
sinx=0となるのは、x=0,πですね

もう１つ見落としてました
例えば、a²=9の解はa=3のみですか？

じゃ

あ、ボケてました...
±3ですね

aporon

ですね
であれば、xの値は6個でてくると思います

じゃ

それで増減表を書くんですよね！？
さっき増減表がおかしかったのはxの値がおかしかったんだと気づけました！

aporon

これでいけるかと思いますよー👍

じゃ

書いてみたら行けました！
詳しく理解するまでありがとうございます！！！感謝してもしきれません！

aporon

いえいえ
理解できてよかったです😆