Question

ピッピー

一対一対応の数学の質問です！この漸化式ってこの方法を覚えて解くしかないのですか。

をq"+1 で割ると、奥型的な1。
(1
化式を解く
(2) a=4, an+1=4an
an+1= pan +S(n) (p
(2
2項間漸化式の解き方
g(n)の係数を
(3
数列になることを用いればよい。
an
LBを定め
an+1
A
ればよい。また, an+1= pan+ Aq" の両辺を p"+1 で割って、
A/q
か*
ここで、
かか+1
とし
an
p
b=
p"
A(n+1)になることは
(1) an+1+ A (n+1)+B=2(an t An+B)を満たす A, Bを求める。
Cn+1=2a,+ An+B-Aと条件式を比べて,A=1, B-A=0 ..
an+1+(n+1)+1=2(an+n+1)より, {an+n+1}は公比2の等比数列。
よって, antn+1=2"-1(aj+1+1)=3-2"-1
令左辺は
■解答
意。
B=1
. a,=3-2"ー1-n-1
【(2 )の別アプローチ)
f(n)が Aq" の形の場合は、
12+1
an
An+1
(2) ay+1=4a,-2"+1 を 4"+1 で割って,
47+1
4"
2
れ+1
1
となるので, n22のとき,
とおくと,==1, bn+1=bn-
4
間瀬化式に帰着されることに
目、漸化式を2+1 で割って
a1
an
(2
b=
1)2-1
1-
2
an+1
1-1/1 +1
an
=2-
カ-1
27+1
1
1-
2
2*
bn
=6+(み)-)=1- =1-(
an
Cn=
とおくと,
2"
Cat=2arl
これから解く。
=1-1- -+()(カ=1のときもこれでよい)
2
よって, a,=4"b,=4"{
:=2·4"-1+2*
【別解】(2) an+1+A·2"+1=4(an+A·2")を満たすAを求める。
Cy+1=4a,+4A·2"-A·2"+1=4az+A·2"+1 と条件式を比べて,A==-1.
Gy+1-2"+1=4(an-2")より, {an-2*}は公比4の等比数列。
よって, an-2"=4カ-1(4-2')=2-4ガー1
. a,=2-4"-1+2"
09 演習題 (解答は p.75)
次の式で定められる数列の一般項 anを求めよ。
(1)a=2, an+1=3am+2n?-2n-1 (n21)
(岐阜大)
2) a=1, an+1-2an=n-2"+1 (n之1)
(日本獣医畜産大)
=k(an+f(n))となる
f(n)を探す。
(2)階差型に持ちE
1
3) a=1, an+1=
n-1
(n21)
24t
(岐阜大·教一後)
~ ン

9
(1)と(3)は, an+1+f(n+1)=k(an+f(n))
の形に変形するのがよいだろう.f(n)について,(1)
はnの2次式,(3)は分母が nの1次式で探せばよい。
(2)は 2"+1 で割ると階差型に帰着される。.
=3(a,+ An?+ Bn+C)…
が与式と一致するように,定数A, B, Cを定める。
0
のを変形して,
an+1=3an+3An?+3Bn+3C
=3a,+2An?+(2B-2A)-A-B+2C
与式 an+1=3an+2n?-2n-1と係数を比較して,
2A=2, 2B-2A=-2, -A-B+2C=-1
これを解いて, A=1, B=0, C=0
よって,①は,
an+1+(n+1)?=3(an+n?)
これより,{an+n?}は等比数列で,公比3,
初項 a」+12=2+1=3 なので, 一般項は,
an+n?=3-3*-1=3"
. a,=3"-n*
(2) an+1=2a,+n-2"+1 の両辺を2”+1 で割ると、
an+1
an
+n
27
2カ+1
an
bn=
2"
a1
とおくと=
bn+1= bn+n
2
であるから, n22のとき,
n-1
n-1
1
bn=ム+2(b+1-)=Db,+2k= +が(カ-1)
k=1
k=1
よって a,=2"-1(n-n+1) (n=1でも正しい)
1
ant
A
n+1
が与式と一致するように,定数Aを定める。
のを変形して、
1
an+1=
nt 2m
A__A
n+1
ant.
2n(n+1)
D
29n+
1
n-1
と比較して、
与式 an+1-nt
2
A-1
2
. A=-2
2
2
よって, ①は, an+1
an
n
n+1 2
2
公比,初項
これより,{n-は等比数列で
n
11-1
2
2
ai
-=1-2=-1, 一般項は, an'
1
2
n
2
1n-1
an
n
2