11 面積-3次関数どうし一
11)く
12)
kを定数とし,f(z)=z°+z°-4kz+6k?, g(z)=2°+2z-3k
とおく、2つの曲線y=f(z)とy=g(z)が相異なる2点で交わっているとき,これらの曲線で囲
まれた部分の面積をS(k)とする。
(1)2つの曲線y=f(x)とy=g(z)が相異なる2点で交わるためのkの条件を求めよ.
(2) S(k)を求めよ。
(3) S(k)が最大となるkの値を求めよ。
い
(阪府大·経)
3次関数どうしで差が2次式の場合
境界が3次関数であっても, 差(被積分関数)が2次になると,
公式(ェーa)(zー8)dz=--(B-a)°
1
……★ が使えることがある.2曲線で囲まれた面積を求
6
める場合で,交点が2個だけのときはこの形にならないかをまず考えよう。
■解答
解
(1)f(z)-g(z)=z?-2(2k+1)ェ+6k?+3k
y=f(x)とy=g(z)の交点のェ座標は①=0 の解だから, ①=0が異なる2
実解をもつための条件, すなわち判別式を考えて,
番
外の髪
(2k+1)?-(6k?+3k)>0
(2k+1)?-3k(2k+1)>0
合DI4>0
Ka
くん<1
2
(2) kは(1)で求めた範囲にあるとし,このときの
D=0 の2解を a, B(a<B)とする。α<z<Bのとき
①<0であるから,この範囲でg(ェ)>f(x)であり,
図1
9=g(x)
S(k)=g(z)-f(z)} da=["(-0)da
o
--(ェ-a)(ェーB) dz=-(B-a)®………®
リ=f(x)
B
合公式★を用いた.
D=0 を解くと
合求めるものは図1の網目部の面
積だが,これは図2の網目部の面
積と等しい、
図2
=2k+1±V(2k+1)?-(6k?+3k)
=2k+1±/(2k+1)(1-k)
て
=2k+1±/-2k?+k+1
となるので,B-a=2/-2k?+k+1 であり, このとき
の-(-24+k+1)
リ=f(x)-g(x)
3
(2)
3
(3) -2k?+k+1が最大となるんを求めればよい。
12
日=26?+k+1=-2(k-
4
9
より,k=
8
1
合ー小
4
-<ん<1を満たす。
○11 演習題(解答は p.158)
2
る
W
