Question

あ

黒で囲った部分がわからないので教えていただきたいです。

問題 204(x+1)f (x) = 2f(x) +4, f(0) = 0 を満たす整式で表された関数 f(x) を求めよ。
定数をおよび関数f(x) を求めよ。
f(x)-f(x) =D2kx+°x+1 …① とおく。
f'(x) =D 0
f(x)を定数関数とすると
このとき,左辺は定数であり, 右辺は3次式となるから, ① を満たさ
ない。
よって,f(x) は定数関数ではない。f (x) をn次式 (nは自然数)とす
ると,f(x) は(n-1)次式であるから, ① の左辺は (n+1)次式となる。f (x)がれ次式で
°f (x)は (n+1
であるから,左
(n+1)次式となる。
一方,①の右辺は3次式であるから
n+1=3 すなわち n=2
ゆえに,f(x) は2次式である。
F(x) = ax° + bx+c (a+0) とおくと
のに代入して整理すると
2ax°+ (b-a)x°- bx-c=2kx°+x+1
これがxについての恒等式であるから, 係数を比較して
2a = 2k …2, b-a=k …③, ー6=0…④, Ic=1…⑤
3, 0より
これを2に代入して整理すると
f(x) =D 2ax+6
a= -k°
-2° = 2 より
2°+2k=D0
24(k+1) =1
kキ0 より
2k(k+1) = 0
k= -1
2,0, 6より
a= -1, b= 0, c=-1
k= -1, f(x) = ー-1
したがって
(x+1)f(x) = 2f(x) +4·① とおく。
f(x)を定数関数とすると,f(0) = 0より f(x)= 0
このとき f(x) =0 となり
Ma)が定数関数
rについ
f(x)の次教

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たかやな

問題文にはf(x)が定数関数なのか関数なのか、また何次式なのかが書かれていないので、それを求めることから始めます。
定数関数とは、グラフで表すとx軸に平行な直線となるy=1 などのことで、これを微分すると値は0です。
よって、「f(x)を定数関数とするとf'(x)=0」
このとき①の左辺は x²f'(x)-f(x)=-f(x) であり、これは定数です。
また、①の右辺は3次式ですので、矛盾が生じます。
したがって、「このとき、左辺は定数であり、右辺は3次式となるから、①を満たさない。」