Question

天櫻

数学Bの数列の問題です。(2)の問題なのですが、解答のシャーペンで囲っているところがどうしてそうなるのか分かりません‥。どなたか教えて下さい。

当初項が 2, 公比が4の等比数列を{an} とする。ただし, logio2=0.3010, logio3=0.4771 とする。
(1) an が10000 を超える最小のnの値を求めよ。
(2) 初項から第n項までの和が100000 を超える最小のnの値を求めよ。
ILJzL フ
n=2.47-1
そan=arn-1

logio10=4
よって,2を満たす最小の自然数nは
初項から第n項までの和は
2(4"-1)
4-1
nを求めて
そlogo2>0
5-logio2+1ogio3=5-0.3010+0.477135.1761
log1o2+1og1o(4"-1)-logi03>5
logio(4"-1)>5-logio2+log03
この不
n=8
2(4"-1)
検討
対数の性質
(数学I) a>0, aキ1,
M>0, N>0, kは実数
のとき
3
3章
2(4"-1)
3
①として、両辺の常用対数をとると
>100000
練習
2(4"-1)
log10
->logio10°
3
loga MN
=logaM+logaN
2 log.N
M
=log。 M-logaN
る log。M*=kloga M
ゆえに
よって
ここで
>5=51ogio10=logio10°
logio(4"-1)>1ogio10
よって
4"-1>10°
227> 10°
4"ン10年|
ゆえに
すなわち
4">105
この両辺の常用対数をとると
5
ゆえに
2nlog.o2>5
そ4">10°+1>10
n>
21og1o2
5
-=8.3…
ゆえに
2-0.3010
n=9
2(4°-1)
2
(2·4*+1)(2·4*-1)=174762>100000 -ペ-1=(2·4ア-1
ここで
3
3
2(4"-1)
は単調に増加するから, ①を満たす最小の自然数nは
EO1
3
n=9

数列 等比数列 対数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

テト

log(a)a^n=n・log(a)a=nというのは対数の性質です。要は、n乗は前に係数として出せるし、ログの底と真数が同じ時は真数の指数と等しいわけです。(詳しくは対数の性質参照で)

この場合、桁数を調べたいので整数をわざわざ常用対数に変換して対数の関係式にもっていってるんですね。2番目の囲っているところも、ただ指数の性質利用して4を2^2に変換してるだけです。指数の話なので、2n乗になるわけですね。(2^2)^n=2^2・nです。

天櫻

解答ありがとうございます😊
あと1つ質問があるのですが、“ここで”のあとの部分の“5-0.3010+0.4771=5.1761”の0.1761はどうなったのですか？それを無視して>5=5log10 10となる理由が分かりません。

テト

そこの部分の目的としてはもちろん、log(10)（4^n-1）のnを不等式評価を元に導きたいわけですよね？
ですが対数の不等式は底を揃えて対数で評価するのが早い。つまり、5.1761は不都合なわけです。(対数で表すと複雑)

さらに、式全体としては不等式なので
5.1761＞5は常に成り立ちますよね？
なので不等式として成立します。

丁寧にみていくと、log(10)（4^n-1）＞5.1761…①⇒log(10)（4^n-1）＞5…②

①⇒②を訳すと、log(10)（4^n-1）が5.1761よりも大きいのなら、5.1761よりも小さい5と比較してもlog(10)（4^n-1）の方が大きいことが成り立つってわけですね。
A＞B、B＞CならばA＞Cは必然なわけですね。

天櫻

なるほど！！ありがとうございました😊