Question

Black

統計学についての質問

2次元正規分布の共分散を求める過程で理解できないところがあります。
共分散を求めるとき重積分の変数変換を行わないといけないのでヤコビアンを考えないといけないと思うのですが
なぜ画像の参考書の記述ではヤコビアンを考えていないのでしょうか。

1変数の置換積分みたいなことを2変数でしても良いのでしょうか？

方向に Or倍、y軸万向に oy 倍してから、楕円の中心を ary 座標で(Hx, Ay) に
分散 VLX]、また共分散 Cov[X, Y]、相関係数r[X, Y]を求め
確率分布
平行移動した楕円になります。
よ。
直線
. o1のままでは計算が面倒になるので、ひ、 ひに変数変換して積分を計算しま
目
す。
リ-y
V=
0-x
O/1-p
とおくと、OW1-p' du=da、 ay1-fdw=dy
U=-
a1-p
1
fa, y) =
2nOyOW1-p
1
exp-2(1-p)
(r-y)?
-2p-
OxOy
エー) ガール) (ガーズ)
1
xp|-(パ-2puw+が)]
2TOyOy1-p
1
-exp
2royOy1-p°
-(0-pu) +(1-p')a')
1
1
exp
2moyOy1-p
この右辺をg(u, v)とおきます。
2
Ahe)=ra, w)dy= g(u, w)ay1-Fdo
S(x
1
1
-exp
2xOyOw1-p°
ロ

exp
2r0x
exp
1
exp
2rOx
公式 1.22(2)よりV2元
(x-u)?-
20
exp[-
V2rOx
1
V2ror
また、共分散を求める準備をしておくと、
(rー)(y-)ra, y)dedy
-→(v-pu)?_
exp
=1-puo1-p
2ro,O1-p
×ox1-p'duoy。
なので、
Cov[X, Y]=E[(X-x) (Y-μy)]
=T(-)(g-4)(a, y)dady
のの1-p)auresp[-リーpu)"-1-グ)ad)
1
3
「o
2元
*o
2元
vexp
2
d» )uexp
バa)=-eのとき、 ELX]=|_*。
12π0
1
(x-)?
1
20 のとき、 E[X]=| :
V2元G
(x-μ)?
20 dx=uとなる(定義216
のあと参照)。x→ひ、0→1、μ→pu として用いて
- a-]an
1
V2元
|du
=GyOyp(1-p)」
du
O
S(a
) =eのとき、 ELX]= [* 1e-。
(x-p
(2no
(x-μ)?
20 da=o°+
12ro
1
0→u、09
VI-
490として用いて

統計学 大学数学 数学 重積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

ヤコビ行列を計算してその行列式を計算してみればわかりますが、同じ結果になります。
ヤコビ行列が対角成分しかもたないからです。

Black

回答ありがとうございます。

今、計算してみたところ確かにヤコビアンが
σx(√(1-ρ^2))σy(√(1-ρ^2))となり同じ結果になっていました。

大学数学をあまり理解できていないので分からないのですが今回のようなケースだと
[ヤコビアンがσx(√(1-ρ^2))σy(√(1-ρ^2))だから重積分は~となる]みたいには書かないのでしょうか？
つまりヤコビアンとか言わずに画像のように書くのでしょうか。

Black

ヤコビアンが~だからと書いたら間違いになるのでしょうか。

Crystal Clear

uにはxのみ含まれてyは含まれない
vにはyのみ含まれてxは含まれない
よって(x,y)→(u,v)の変換というよりはx→u, y→vの1変数の置換変換を2回やっているだけです。
もちろん、重積分の変数変換(置換積分)の一種だからヤコビアンと言ってもいいです。

統計の内容なんだから、計算過程に重きは置かれていないと思います。