Question

とある美容学生

合同式

合同式、いろんな解説見ても理解できないので、これをもっと細かく解説して欲しいです🙇‍♀️

テーマ 66)合同式
応用
合同式を用いて, 次のものを求めよ。
(1) 400 を3で割った余り
(2) 300 を13 で割った余り
(注意)
テーマ 65 と同じ問題です。
考え方
a=c(mod m)のとき, a*=c* (mod m) であることを利用する。
(1) 4=1(mod 3) であるから
400=100 (mod 3)
解答
100=1 であるから, 4'00 を3で割った余りは 1 個
2) 3=27=13·2+1 であるから 3°=1 (mod 13)
3'00=(3°)33.3 であり,(3°)33=133(mod 13) であるから .
(3)3.3=133.3 (mod 13)
3'00=3(mod 13)
よって, 3'00を13で割った余りは 3 圏
すなわち
整数の性質

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

瑞月🌙*･

わかりやすくなってるかはわからないですが、、、
質問や(2)の内容に関して質問があったらどうぞ✨

とある美容学生

めっちゃ分かりやすいです！！
ありがとうございます😊

とある美容学生

ここの1ってどうやって求めるのですか？

とある美容学生

（2）の説明もお願いします🙇‍♀️
3を13より大きくするってことはわかるのですが､､､

Answer 2

えだまめ🫛

合同式は「余り」を考える式です

「余り」を考えるとき必ず必要なのが「割る数」です

合同式では
この割る数を「法」または「mod(モッド)」と呼びます
また、ある法のもとで余りが等しいとき「合同である」といいます

例えば、合同式　4 ≡ 1 (mod3) は
「mod3のもとで4と1は合同である」という意味です

確かに　
4 ÷ 3 = 1余り1
1 ÷ 3 = 0余り1 となり余りが等しくなっています

さて、画像の問題に入ります
画像の解答は
「4 ≡ 1 (mod3) ⇒ 4¹⁰⁰ ≡ 1¹⁰⁰ (mod3) 」
を使ってます

まずこれを証明します

次のように4ⁿを(3+1)ⁿとして展開、3でくくります
(3でくくると、3で割ったときの余りがよくわかります)

n=1のとき
4 = 3+1 ≡ 1 (mod3)

n=2のとき
(a+b)² = a²+2ab+b² なので

4²
= (3+1)²
= 3² +2･3･1 +1²
= 3(3+2)+1²
≡ 1² (mod3)

n=3のとき
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ なので

4³
= (3+1)³
= 3³ +3･3²･1 +3･3･1² +1³
= 3(3² + 3･3 + 3) + 1³
≡ 1³ (mod3)

n=4のとき
(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴ なので
(a=3 なので b⁴以外は3でくくれる)

4⁴
=(3+1)⁴
= 3⁴ + 3(…) +1⁴
≡1⁴ (mod 3)

・
・
・
n=100のとき
4¹⁰⁰
= (3+1)¹⁰⁰
= 3¹⁰⁰ + 3(…)+1¹⁰⁰
≡ 1¹⁰⁰ (mod3)

よって
「4¹⁰⁰ ≡ 1¹⁰⁰ (mod3) 」は正しい

また1は何乗しても1なので

4¹⁰⁰ ≡ 1¹⁰⁰ = 1 (mod3)

よって
4¹⁰⁰を3で割った余は1

とある美容学生

ありがとうございます！！