sin x
の極限(証明が出来るようにしてください)
地閉るち善宝
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x
sin x
の極限
本
x
sin x
lim
=1
エ→0
x
証明 x→0のときを考えるのであるから, 0<l対くうとしてよい。
[1] 0<xくのとき
点0を中心とする半径1の円において,
中心角×の扇形OABを考える。点Bから OAに下ろした垂線を
BH, 点Aにおける円0 の接線が OBの延長と交わる点をTとす
ると,ATはOAに垂直で, 面積について
△OAB<扇形OAB<△OAT
B
BH=sinx, AT=tanx であるから
1
-1-sinx<;1?.x<う1.
*1.tanx
tan x
sin x
よって
sinx<x<tanx
H
各辺を sinx で割ると, sinx>0であ
A
るから
x
sin x
COS X
sinx
1>
>cosx
ゆえに
sin x
lim
x
=1
lim cos x =1であるから
ズ→+0
エ→+0
sinx
においてx=ーtとおくと
(2] 一くく0のとき lim,
ズサー0
x
sint
=1
t
Isint
sinx
sin(-)
= lim
=lim
lim
x→-0
ーt
sinx
lim
エ→0
=1
[1], [2] から
ありがとうございます！