C Cam ànn り立つ。
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補足
事分数形の漸化式
a, p, q, r, s (pキ0, ps-grキ0) は定数とする。
ra,+s
pa,+q
a=a, an+=
Aの特性方程式x=
とする。
rx+s
すなわち px?+(qーr)x-s=0
® の2つの解をa, B
px+q
ran+s
pan+q
また,aはBの解であるから
(rーpa)an+s-qa
pan+q
an+1-Q=
ーQ=
pa'+(q-r)a-s=0
よって
s-qa= pa?-ra=a(pa-r)
これを©に代入して
(rーpa)a,+a(paーr)_(rーpa)(a,-a)
pan+q
an+1-Q=
pan+q
ここから先は,次の2通りに分かれる。
[1] α=Bのとき
[2] αキBのとき
(例題127参照)
(例題128参照)
[1] α=Bのとき
アーpaキ0 であるから(下の注意参照),① の両辺の逆数をとると
1.pan+q-
rー pa
1
E
ーa(p+ 2ta)
an+1-Q
an-Q
rー pa
an-Q
αは®の重解であるから
g-r
よって
pa+q=r-pa
Q=ー
2p
(b+ーpe
rー pa
これをDに代入して
1
1
p
rー pa
1
an+1-Q
an-Q
anーQ
1
=b, とおくと
p
rー pa
bn+i=b,+
* 等差数列 を利用。
An-Q
[2] αキBのとき
(rーpB)(a,-B)
pan+q
O, Dにおいて,それぞれrーpaキ0, rーpBキ0であるから(下の注意参照),
のと同様に、an+1-B=
® が成り立つ。
an+1-B_ァーPB. an-B
rーpa an-a
®-0より
%D
an+1-Q
rー pB
-Cn
rーpa
anーB
=Cn とおくと
等比数列 を利用。
Cn+1=
an-Q
注意 Oにおいてrーpa=0 とすると,pキ0 であるから
ミ
p
aはBの解であるから )+(q-r)ニーs=0
よって、qr-ps=0となり条件に反する。
Cananns+0も成り立つ。
ゆえに
同様に、アー
