Question

サスケ

場合の数の問題について質問です。
模範解答の答えと違ってて、自分の解答を見直したのですが、どこが間違ってるのか分かりません。

全体の流れとして、
(9マスを塗り方の場合の数) - (条件を満たさない塗り方の場合の数)
で答えの場合の数を求めました。

(条件を満たさない場合の数)については、まず左上の4マスが赤で塗り潰される場合を前提に、残りのマス目の塗り方によって回転した時に異なる図形がいくつ生まれるかを求めて、場合の数を計算しました。同様の議論により青の2×2正方形の場合の数を出しました。赤と青の2×2正方形は両立し得ないので、この2つの場合の数を足したものが(条件を満たさない場合の数)だと思いました。

画像2枚目で何をやってるかが分かるように説明を書きましたが、もし不明な点があったら聞いてください。
わかる方回答お願いします。

1. (JMO/2006/予選6) 3×3のマス目があり, 各マスを赤または青で塗りつ
ぶす。赤いマスのみからなる2×2の正方形も, 青いマスのみからなる2×2の
正方形もできないような塗り方は何通りあるか.
ただし,回転や裏返しにより重なり合う塗り方も異なるものとして数える。

1. 赤の正方元がでもるとも, 赤の正方形はな在く得すない
また、逆も同様でまる
色を右のように多再づする
Ci
Ce
Cz
G
[赤の正方市らでまるとき1
C」で必ず1つできるとする.
こでで,中心のマスを中心として点対称な
金り方にならな。とき、同転させれは対応した
3つの契な3全1方が生まれる。
対象な塗り方でら2とき
) C2,Ce tr 赤のとき(1通り)
D転士せても異なる図形仕生ままな。
(;)C,Ca か茶のとき (1周1 !
回転土せて異なる回をが1つ生生れる.
42-2) + 1+2= 123 (適)
[書の正方形ができると手」
赤の正方的はできないので、 上の議備とくは挑反であり、周程の温をして(23
よって、 2-246 -
C4
Ce
Gt
- 512-246
( = 26( (通)
11

132
赤マスが0個の場合:
4隅のマスをどのように塗っても,赤マスのみからなる2×2の正方形はでき
ない、よって4つのマスを任意の色で塗ることができる。ゆえに,この場合は
2* = 16 通り、
赤マスが1個の場合:
この場合も同様に, 4つのマスを任意の色で塗ることができる.赤く塗る1マ
スの選び方は4通りあるので, この場合は4×24= 64 通り.
* 赤マスが2個の場合:
その赤マスがA, Cまたは B, Dである場合は, やはり4つのマスを任意の色で
塗ることができる.この場合は2×24 = 32 通り.
それ以外の場合は, 隅の1マスは赤マスで挟まれているので青で塗らねばなら
ないが、他のマスは任意の色で塗ることができる. この場合は4× 23 = 32 通り。
* 赤マスが3個の場合:
隅のマス2つが赤マスに挟まれているので, これらは青で塗らなければならず、
他のマスは任意の色で塗ることができる.この場合は4×2? = 16通り.
* 赤マスが4個の場合:
隅のマスはすべて青でぬらなければならない.この場合は1通り.
中央のマスが青であるような塗り方も同じだけあるので, 求める塗り方は
(16+64+32+ 32+16+1)x2=322
通りである。

場合の数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

prpr555

ちょっと確認したいことがあるので、模範解答の最初の部分から載せてもらえませんか？

prpr555

たぶん、サスケさんは問題の条件を勘違いしているような気がします。
単色の2×2正方形の捉え方で。正方形に同じ色がくっついててもダメなのに、くっついたものもカウントしていませんか。

サスケ

回答ありがとうございます。
まさにその通りです。
確かにその方が純粋な解釈だと思えてきました。

しかし、何度か読み直したのですが、僕の解釈が誤りである明確な根拠を見つけられませんでした。何か問題文中にその正しい解釈を示唆するような箇所はありますか？

画像は模範解答の最初のところです。載せておくべきでした。すみません。

prpr555

私も最初はそれでもカウントしていいものだと思っていましたが、よくよく考えるとそれも変だなと思った次第です。なので、出題の仕方として、ある程度の人はサスケさんと同様に捉えてしまう可能性がある問題だと思います。

サスケ

なるほど。
ひとまず、誤答の原因と正しい解釈を知ることが出来て良かったです。
助かりました。
ありがとうございました！