(1) 238 と自然数nの最大公約数が14, 最小公倍数が1904であるとき, nの値を求ー
(2) 最大公約数が12, 最小公倍数が480 である2つの自然数の組をすべて未
基本例題 104 最大公約数, 最小公倍数の性質 000
398
n0
値を求めよ。
(2) 最大公約数が 12, 最小公倍数が 480 である2つの目然数の組をす。
p.389 基本事項
めよ。
CHART
OLUTION
2つの自然数 a, 6の最大公約数g,最小公倍数 1の性質
a=ga', b=gbであるとすると
1 a', 6' は互いに素
(1) 上の3を利用する。
(2) 条件から, a', b'を互いに素な自然数として, 2つの自然数は12d', 12kL
表される。次に, 上の2を利用すると
2 1=ga'b'
3 ab=gl ……
12a'b'=480
解答
(1) 条件から
90n=15·3150
15-3150
90
これを解いて
-=525
n=
別解 90=15-6 であるから, 自然数々を用いて
n=15k (k と6は互いに素)
合上の性質1
と表される。
最小公倍数が3150 であるから
ゆえに
3150=15-6-k
介上の性質2
よって
k=35
n=15-35=525
- 35 と6は互いに素。
(2) 2つの自然数を a, bとすると, 最大公約数が 12であるか
a=12a', b=126'
と表される。ただし, α', b' は互いに素である。
このとき, a, bの最小公倍数は12α'b'と表されるから
ら。
12a'b'=480
すなわち
a'b'=40
*「互いに素」は重要。
えば (a', b)=(4.
から(a, b)=(18
とすると,最大公約に
24となって不道。
a'b'=40 を満たし, 互いに素である a', b' の組は, a'<b'
人井コ
とすると
(a, b)=(12, 480), (60, 96)
したがって, 求める2つの自然数の組は
(12, 480), (60, 96)
よって
PRACTICE … 104°
n
つ
そういうことだったんですね！
ありがとうございます🙇♀️