ここでは、もう少し詳しく考えてみよう.
の符号はともに正より, y=f(x) は x30 で確かに極値をもたない。
2x=a の前後でf'(x) の符号が変化する」が成り立つことであった。
F(x)=3x* より, f'(x)=0 の解は重解 x=0 であるが, x=0 の前後でf(x)
関数 y=f(x) が x=a で極値をもつための条件は, 「① f(a)=0 かつ
例題206 では, 3次関数が極値をもつ場合ともたない場合について考えた。
実際、2が成り立たず極値をもたない簡単な例として f(x)=x° がある。
この状況を y=f(x)=x°, y=f(x)=3x* のグラフで表すと, 次のようになる。
こんの
phaumn
f(x)とず(x)の関係」
工業大)
a
0
「x<0 でf(x)>0→f(x) は単調増加
|=0 でf'(x)=0→接線の傾き0
|x>0 でf(x)>0→f(x) は単調増加
このグラフを簡略化して表したものが「増減表」であ
る。この2つのグラフからもわかるように, 一般に, 3
次関数 ソ=f(x)==ax°+bx?+cx+d (a>0) と,
その導関数 y= f'(x)=3ax°+2bx+c の関係は次のよ
うになっている。
これは
4 ソ=f(x)=x°
重解をも
らたない
である
0
4ソ=f(x)=3x°
ある
変化
(i) 単調 単調単調
増加 減少 増加y=f(x)
単調増加
() 単調増加
ソ={(x)
→y=f(x)
=0
※6g
PR
P
ーる。
接線の
傾きは0
M
30
B
x
10
=a
x
ソ=f(x) がすべての実数に
おいて単調増加
→y=f(x) がx軸と共
有点をもたない
(つねに y=f(x)>0)
→2次方程式 F(x)=0
が実数解をもたない
よって, 判別式D<0
10=X
y=f(x) がx=α, B で
極値をもつ
→y=f(x) が
x=α, Bでx軸と2
点で交わる
→2次方程式 f'(x)=0
が異なる2つの実数
解をもつ
よって,判別式 D>0
注》(i)~面において, 政物線 y=f(x) の軸 (i)では x="ナB (i), (面は x=a]を填に。
ソ=f(x) がxキαのすべて
の実数において単調増加で,
x=α で接線の傾きが0と
なる
→ y=f'(x)がx=α
でx軸と接する
→2次方程式 f'(x)=0
が重解(α)をもつ
よって, 判別式 D=0
2
グラフの「変曲点」と呼び, すべての3次関数のグラフはこの変曲点に関して点対称にな
ニている。これは放物線の軸に関する対称性からも予想がつくであろう.
