Question

你好

想請老師們幫忙看看這題
想了很久

2.
在「大富翁」遊戲中,玩家輪流擲一顆公正骰子,並在遊戲地圖中順時針繞著四周的格
子前進。以附圖為例,設有一玩家位於羅馬尼亞,若他接下來擲出2點,則他會去拜訪
聖設老人村;若他接下來擲出3點,則他會到法國。設n為正整數,現定義 (n)代表「距
離拜訪聖誕老人村n 格時,能拜訪老人村的機率(僅限此圈達成,但不限投擲次數)。
依此定義, 請回答下列問題:
P(I) = 31. p(2) = 請
7
o
36
(1) 求p(3之值。(即玩家位於命運處)
剛留
(2) 求p(4)、P(5)、P(6) 之值。
(3) 設1<n<6,求p(n) 的一般式。
羅馬尼亞
2000 元
芬蘭
2600 元
德國
法國
?
NE强盛到
民
機會
3000 元
2600 元

Answer 1

我就是我

距離目標3格時有三種情況能到達目標
情況一 1/6的機率擲出1，距離目標2格。距離目標兩格時到達目標的機率為P(2)
情況二 1/6的機率擲出2，距離目標1格。距離目標一格時到達目標的機率為P(1)
情況三 1/6的機率擲出3，直接抵達
因此P(3)=1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6=49/216

同理P(4)=1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6*P(3)+1/6
P(5)=1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6*P(3)+1/6*P(4)+1/6
P(6)=1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6*P(3)+1/6*P(4)+1/6*P(5)+1/6

P(4)P(5)P(6)不可能硬算，顯然P有遞迴關係，取P(3)和P(4)來看

P(4)=1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6*P(3)+1/6
=[1/6*P(1)+1/6*P(2)+1/6]+1/6*P(3)
=[P(3)]+1/6*P(3)=7/6*P(3)

故可推得P(k+1)=7/6*P(k)，是等比數列
首項P(1)=1/6，公比為7/6
P(n)=(1/6)*[(7/6)的n-1次方]