Question

じすた

この極限が解けません。

この問題のミソ(?)なのかもしれませんが、なぜ分数をθを使って分けているかがわかりません…

教えて頂けると嬉しいです。よろしくお願いします！🙇‍♂️

あと、2枚目がこの問題の全貌なのですが、微分したものの極限(θ→+0,θ→2π-0)が±∞だから接する(緑色のラインを引いた部分のことです)の意味がよく分かりません。

微分って傾きですよね？なぜ傾きが±∞だと接するのですか？？

初歩的な質問かもしれませんが、教えて頂けると嬉しいです。よろしくお願いします🙇‍♂️🙇‍♂️🙇‍♂️

dy
lim
= lim
d.x
sin0(1+cos0)
1-cos?0
三
2
0→+0 dr
0→+0
、()は
= lim
76-+0 Sin0
よって
1+cos0
=+8
0
0
0→+0
ヨー2元=t とおくと, 0→2π10 のとき,

ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では, スペースの関係上,
(1) 媒介変数で表された関数の微分については64で学びました。
150
第5章 微分法
基礎問
sint
151
= lim
→-0 1-cos t
82 媒介変数で表された関数のグラフ
1+cost
= lim
t→-0 Sint
=ー0
t
=0-sin0
(0S0S2x)で表さ
だから(0, 0),(2π, 0) において曲線Cは
それぞれ直線I=0, r=2π に接する。
y=1-cos0
2ト 。
zy平面上で媒介変数0を用いて
の角をなすとき、
以上のことより,グラフは右図。
0-0 と2πのときをはずして微分しているのは,この2つのθに
6
れる曲線C上の点Pにおける接線がェ軸の正方向と
元
2元
(2) 点Pの座標を求めよ。
(1) Cのグラフをかけ、
対して,
dr
=0 となるからです。
de
dy
dz
dy
de
は
dr
dz
キ0 のときに使うことができる式です。
精講
de
その影響で,0==0 と 2πのときのグラフの様子がわからないので,
64で求めた をそのまま(途中を省略して)使ってあります。
d'y
dz?
dy
dy
lim
0→+0 dr'
lim
0→2元-0 dr
を調べてあるというわけです。
(2) 直線とエ軸の正方向とのなす角をαとすると( だし, -号<aくな), そ
た。
(2) 0<0<2π において
の直線の傾きは tanα で表せます. (数学II · B58
sin0
1-cos0
tan
V3 sin0=1-cos 0
解答
V3 sin0+cos 0=12 2sin(0+=1
(1) 0<0<2π のとき,
注参照
くの+くより +品- 0-等
よって、 P等-)
π_ 13元
6
π_5π
6
.2π
dy
sin0
de
=1-cosθ,
d0
dy
-=sin0 より
de
dr 1-cos 0
V3
2π
2
3
d'y
dr?
1
また,
| 64
2
=ー
(1-cos0)?
よって, グラフは上に凸。
また,=0 より
dy.
dz
のポイント
ある直線がェ軸の正方向とαの角をなすとき
sin0=0 . 0=π (0<0<2π より)
(一番くのく)で表せる
…|2元
傾きは tan a
1-cos0>0 だから, 増減は右表のよう
になる。また,
0
0
0
π
2元
dy
-=lim
sin@(1+cos0)
1-cos'0
dy
dr
lim
0→+0 dr
0→+0
0
0
0
= lim
エ=\3パ-1
1+cos0
演習問題 82
-=+8
0
(-1<t<1)で
0-+0 Sin0
0<
0-2π=t とおくと, θ→2πー0 のとき, t→ 0
y平面上で媒介変数tを用いて,
y=ピーt
表される曲線上の点P(z, y)における接線の傾きが0になるとき,
点Pの座標を求めよ。
50(5)
lim
0-2ェー0 dr
dy
-=lim
sin (2π+t)
ー-0 1-cos(2ェ+t)
第5章
ト|ト
:| キ
自

数ⅲ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

なむる

前半の質問については lim[θ→+0] θ/sinθ=1を使いたいからわざわざθを使って無理矢理θ/sinθを作り出しているのです。

後半の質問については、想像力が必要です。
まず、傾きが∞について考えてみましょう。直線の傾きが急になるほど傾きは大きくなります。頭の中でどんどん傾きを大きくしていってください。極限まで大きくしたら、それはほぼ縦線になりますよね？ですから、x=0,πで接するわけです。画像も添付しておくので参考にしてください。

じすた

回答ありがとうございます！！！

どちらも理解できました！分かりやすかったです（ ; ; ）

ありがとうございました！🙇‍♂️🙇‍♂️