✨ 最佳解答 ✨
・2次不等式は「2次関数とx軸の位置関係の話をしているもの」
・2次方程式は「2次関数とx軸の交点の話をしているもの」
・判別式Dは2次方程式の解の公式の√の中の部分のこと
という３つの内容は理解しているでしょうか？
(2)の問題ですと
2次不等式「kx^2+(k+1)x+k≦0」は
「2次関数y= kx^2+(k+1)x+kがx軸より小さい、すなわち低いのはいつか？(ただし≦なので接する時はオッケー)」ということを表しています。
それの答えが「すべての実数x」になるということは「常に2次関数y=kx^2+(k+1)x+kがx軸より小さい、すなわち低い。(ただし≦なので接する時はオッケー)」・・・①になればいいということです。
ここで(1)と(2)での大きな違いは(2)はx^2の係数が「k」なので2次関数「y=kx^2+(k+1)x+k」は
i)k<0で上に凸のグラフの可能性
ii)k>0で下に凸のグラフの可能性
iii)k=0で二次関数ではなく一次関数になる可能性
の3パターンがあるということです。
ただしk>0で2次関数「y= kx^2+(k+1)x+k」
が下に凸のグラフの場合、どんな状態でも絶対にいつかはx軸より上にグラフがくるので今回は考えなくていいです。(①にならないことが明白なので)
よって
i)k<0で上に凸のグラフの可能性
iii)k=0で二次関数ではなく一次関数になる可能性
の2パターンは場合分けしてそれぞれ考えていく必要があります。
i)k<0で上に凸のグラフになる場合
①は言い換えると考えている2次関数が上に凸なので「2次関数y=kx^2+(k+1)x+kがx軸と交わらない、または接する」・・・②ということです。
②は言い換えると「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0が実数解を0個または1個(重解)である」・・・③ということです。
③は言い換えると「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0の解の公式の√の中、すなわち判別式Dの値がマイナスになり実数解が0個の状態になる、または判別式Dの値が0になり実数解が1個(重解)の状態になる」・・・④ということです。
よって「2次不等式kx^2+(k+1)x+k≦0」というのは「2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0の判別式D≦0」ということになります。
いろいろなパターンを出して正確に分かりやすく教えてくださりありがとうございます！
この考え方が分からなくて何度か点数を落としてしまっていたことがあったので次は得点できるようにしっかり復習しておきたいと思います！！
今回の問題は2次不等式です。
(1)の問題ですと
2次不等式「x^2+ax+a+3>0」は
「2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸より大きい、すなわち高いのはいつか？」ということを表しています。
それの答えが「すべての実数x」になるということは「常に2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸より大きい、すなわち高い」・・・①になればいいということです。
①は言い換えると考えている2次関数が下に凸なので「2次関数y= x^2+ax+a+3がx軸と交点を持たない」・・・②ということです。
②は言い換えると「2次方程式x^2+ax+a+3 =0が実数解を持たない」・・・③ということです。
③は言い換えると「2次方程式x^2+ax+a+3 =0の解の公式の√の中、すなわち判別式Dの値がマイナスになり実数解が0個の状態になる」・・・④ということです。
よって「2次不等式x^2+ax+a+3>0」というのは「2次方程式x^2+ax+a+3 =0の」判別式D<0」ということになります。