Question

り

赤いマーカーのところなんですけど、t>0だから、分母は正なので、g'(t)の符号の変化は分子の符号の変化と一致するというやり方を使うとどのようになるのか教えて欲しいです。また、そのやり方でやるとg(t)の微分はやらなくてもいいんですよね？お願いします。

100(1) f(x) = (x-1)2
から
3
2(x-1).x°ー(x-1)?.3x? _ -(x-1)(x-3)
x4
f'(x) =
三
ニ
9°
x°
x>0 における f(x) の増減表は次のようになる。
x
0
1
3
0
0
く
極大
極小
f(x)
4
0
27
4
したがって,f(x) は x=3 で極大値
をとり,
27
x=1 で極小値0をとる。
(2) 曲線 y=f(x) (x>0)上の点(t, f(t))における接線の方程式は
(x-t)
ニ
(t-1)t-3)
2(2-3t+2)
すなわち
ソ=
これが点P(0, p) を通るとき
2(2-3t+2) +
p=
2(2-3t +2)
ここで,g(t)
とすると
三
2(2t -3)-3-2(-3t+2)·3t_ -2(22-6t+6)
g'(t) =
三
g'(t) =0 とする
t=3土(3

20にお
また, g(t) の分子 2t?-6t+4をー6t+6 で割ったときの商は2,
ようになる。
0
解答編
t
3-V3
-101
3+ 3
g'(t)
0
0
g(t)
極小
極大
は 30t-36 である。
Support g(3土V3) の値を直接
求めるのは面倒。 パ, 2f°-6t+4
をそれぞれ?-6t+6 で割った余
余りは6t-8 である。
りを利用する。
(2-6t+6)-2+6t-8
よって
g(t) =
(?-6t+6)(t+6)+30t-36
0+6(3土3)-8
0+30(3土V3)-36 6(9土5、/3)
(5+33)(9千5、3)
ゆえに g(3土V3):
2(5土3/3)
土2、3
18
V3
三
3.6
三
9
(すべて複号同順)
1
3
lim g(t) = 0,
2
=0
t3
また
lim g(t) = lim2
t→0
t2
t→0
よって, y=g(t) のグラフは, 右の図の
ようになる。
p=g(t) を満たす正の実数tの個数が,
接線の本数と一致するから, 求める接線
y=g(t)
y=p
3-V3
9
の本数は
3+3 t
V3
のとき 0本
pく-
9
9
くかのとき 1本
9
V3 V3
p=
V3
V3.のとき 2本
くpS0,
p=
9
9
0<かくのとき」 3本
V3
0<pく-
9
yty=f(x)
曲線 y=f(x) (x>0)の概形は,
右の図のようになり, 曲線y=f(x)
と異なる2点で接する直線は存在
しない。
参考
4
27
x
3
1
実数tの個数が,接線の本数と一致
する。
したがって、カ=g(t) を満たす正の
○m

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ふぃる

結論にもある通り、y＝pとy＝g(t)の2つのグラフの交点の個数が接戦の本数に一致するので、g(t)のグラフを書かないと答えは求まらないので微分は避けられないと思います。
また、分子に注目することに関してですが、
y＝－2(t²－6t＋6)のグラフを書いてみると、t＞0でyが－→＋→－の符号変化が起こっているのでこれを増減表に書くのが普通です。つまり分子の符号を考えるのはg'(t)の分子です

り

ありがとうございます。