OOOO0
「辺の長さがaである正四面体 ABCD がある。
(1) この正四面体の高さをaの式で表せ。
(2) この正四面体の体積をaの式で表せ。
基本例題1.35 正四面体の高さと体積
基本134
CHARTOSOLUTION
空間図形の問題 平面図形(三角形)を取り出す
(1) まず,高さを辺にもつ三角形に着目→頂点Aから底面△BCD に垂線 Arr
の半径)はABCD における正弦定理から。
(2)(四面体の体積)=× (底面積)×(高さ)
解答
(1) AABH, △ACH,
AADH は,斜辺の長さ
がaの直角三角形で AH
A
(1) 正四面体の頂点Aから底面ABCD
に垂線 AH を下ろすと
0 0
は共通辺である。
直角三角形において, 斜
辺と他の1辺が等しいな
らば互いに合同である。
AABH=△ACH=△ADH
よって
BH=CH=DH
D
B
ゆえに,点HはABCD の外接円の中
心で,外接円の半径は BH である。
よって,ABCD において, 正弦定理
H
C
により
でるさケ 0<
O
CD
a
a
BH=
=2R
2 sin60°
V3
sin ZDBC
したがって
CD=a, ZDBC=60°
ATー
A
*AABH に三平方の定理
2
a
AH=VAB?-BH° =
a
v3
を適用。
4。
/2
V6
a
先公のくロへ
3
a
3
(2) ABCD の面積は
3
B
H
a
*aasin60°=
-a?
V3
三
4
ABCD の面積
よって,正四面体 ABCD の体積は
Tew
-BD·BCsin ZDBC
.ABCD·AH==
3
1
.V3
e.16
2
3 4
3
aミ
-a
3
12
三 く白
