Question

りり

かっこ2,3が全くわからないです。
解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

224. 次の接線の方程式を求めよ。
(1) 点(4, 0) から円 x*+y°=4 に引いた接線
(2) 点(6, -1) から円 x+y°+2x+4y-20=0 に引いた接線
(3)点(2, 5) から円 x°+y°-2x-4y+4=0 に引いた接線
い の
半(1月
239
食

第2章●図形と方程式学 93
(1+m)xー8mx+16mー4=0
判別式をDとすると,円と直線は接するから,
2-(-4m)-(1+m")(16m*--4)=0
-12m+4=0 (以下園羅1と同様)
愛考 線。を利用すると,次のようになる。
点(4,0)に対する極線の方程式は、4x+0*y=4 より,
O円x+y= に対して、円
外の点(a, b) に対する極線
の方程式は、ax+by=r
(180 の考察を参照)
*=1 ………の
Oとx*+y=4 の交点の庭標は,(1, /3), (1, -/3)
これが接点であるから,接線の方程式は,
*+(3y=4, xー3y=4
(2) 円の方程式は、(x+1)*+(y+2)"=5* と変形できる。
直線x=6 は接線ではないから、接線の傾きをmとすると,求
める接線の方程式は、yー(-1)=m(x-6), すなわち,
mx-y-6m-1=0 …の
となる。
真熱のが円と接するときは、のと円の中心(-1.-2.の距構が
異の半後5に差しい.0
接線 4
極線
2 13)
0
(4,0)
接線
Oy=mx-6m-1 を円の式に
代入して得られる2次方程式
で(判別式)=0 としてもよい。
O点(x, y)と線
ax+by+c=0 の距離は、
Jax+by+cl
V+が
-7m+1|=5/m+I
Vm+(-1)
キャーーー.. ャ 0
両辺を2乗して整理すると。
12m-7m-12=0,
(4m+3)(3m-4)=0
=ー
よって、求める接線の方程式は、
=ーるーー
(3) 円の方程式は、(x-1)*+(y-2)"=1 と変形できるから、中心| 3)
(1, 2), 半径1の円である。
また,点(2, 5) を通る直線の方程式は、x=2 または
y=m(x-2)+5,すなわち,mx-yー2m+5=0 とおける。
このうち、x=2 は接線である。
次に,円の中心(1, 2) と直線 mx-y-2m+5=0 の距離が円
(2,5)
=2
の半径と等しいので、
Im-1-2-2m+5|.
1=1
土(-1 。
0判別式を利用してもよい。
y=mx-2m+5 を円の方程
式に代入して整理すると、
(m*+1)-2(2m-3m+1}x
+4n-12m+9=0
判別式をDとすると,接する
から、
1-m+3=/m+I
両辺を2乗して、
(-m+3)*=m+1
すなわち、
6m-8=0, m=号
したがって、yーは-2)+5 より、yー+
よって、求める接線の方程式は、
*=2, y=+
=(-(2m*-3m+1)}
別解1 円の方程式は,(x-1)*+(y-2)*=1 と変形できるから、
円の中心(1, 2) が原点になるように、x軸方向に -1, y軸方
ー(m*+1)(4m-12m+9)
=0

94 数学 第2章●図形と方程式
向に-2だけ平行移動させて、点(1, 3) から円 *+y=1 に
引いた接線の方程式を考える。
接点の座標を(x,)とすると,接線の方程式は、
x+yy=1 ……0 であり,点 (1, 3) がこの直線上にある
から, +3y=1 …の
また,接点は円周上の点であるから、
+yパ=1 ……の
2, Oを解くと,
のに代入して、接線の方程式は、
この直線をx軸方向に1, y軸方向に2だけ平行移動して戻
すと,xをxー1に,yをy-2におき換えて,xー1=1 より,
x=1, 4x-3y+5=0
=2
4(x-1)-3(y-2)+5=0 より、
別解2 円の方程式は,(x-1)+(yー2)=1 と変形できるから175ので示した公式を
点(x, y)における接線の方程式は,
(-1)(x-1)+(yー2)(y-2)=1
点(2, 5) は、この直線上にあるから。
(n-1)+3(-2)=1 …O
また,接点は円周上の点であるから、
(-1)+(n-2)-i…の
0, のにおいて、x-1=X, n-2=Y, とおくと,
X+3Y;=1 ……O
X+Y?=1 ………®
Oより, X=1-3Y
これをに代入して、
(1-3Y)+ Y?=1
Y(5Y,-3)=0 より,
4ェ-3y+7=0
利用した解法。
2
5Y-3Y=0
Y=0,
Y=0 のとき、
すなわち、
X=1
;=2, カ=2
Y=のとき、X=ー
すなわち、 ==号
点(2, 2) における接線の方程式は、
x-1=1
より、
=2
点()
(--)+(--2=1
-は-D+-2=1
における接線の方程式は、
より,
4(x-1)-3(y-2)+5=0,
4x-3y+7=0
225.条件を満たす点Pの底標を(x, y) とする。

円 数b 数ⅱ 数学 高校数学 円の接線