Question

catくんさん

三次方程式の解と係数の関係では、３つの解をα、β、γ、とすると、ax³+bx²+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)となると思うんですが、指針の部分のA,B,Cを解とする三次方程式のaの部分はなぜ1と分かるのか教えてください！

重要 例題67 3次方程式の作成
O0
3次方程式x°ー2x°-x+3=0の3つの解をa, B. y とするとき, α+B, B+y,
ytαを解とする3次方程式を1つ作れ。
重要66
似た問題 方法をまねる
ように,解と係数の関係 を利用することを考える。
α+8=A, B+y=B, y+α=Cとすると, A, B, Cを解とする3次方程式は
指針>
2次方程式での類似の問題(p.80基本例題 48)と同じ
(x-A)(x-B)(x-C)=0
x°-(A+B+C)x°+(AB+BC+CA)x-ABC==0
よって,A+B+C, AB+BC+CA, ABCの値を求めることを考える。
なお,p.74 重要例題 42 で考えたような, 解のおき換えも有効である(下の検討参照)。
すなわち
解答
3次方程式の解と係数の関係から
α+B+y=2, aB+By+ya=-1, aBy=-3
(α+B)+(B+y)+(y+α)=D2(α+8+y)=2-2
の
x-2x?-x+3
=(x-a)(x-B)(x-y)
=x°-(α+B+y)x
+(aB+By+ya)x
コゆえに
=4
ここで, α+B+y=2から
ーaBy
α+B=2-y, B+y=2-a, y+α=2-B … (*)
にれを展開してもよいが,
計算がやや煩雑。
1よって
=4-2(y+α)+ya+4-2(α+B)+«B+4-2(8+y)+By
=12-4(α+B+y)+«B+By+ya
=12-4-2-1=3
の
(α+B)(B+y)(y+a)=(2-y)(2-α) (2-8)
=8-4(α+B+y)+2(aB+By+ya)-eBy
=8-4-2+2·(-1)-(-3)=1
x°-2x°-x+3
=(x-a)(x-B)(x-y)
また
の両辺にx=2 を代入して
3
もよい。
の~3から,求める3次方程式は
-4x°+3x-1=0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Dylan🍔

問題の３次方程式で、xの３乗の係数が１だからです。

catくんさん

すみません。そこを詳しく教えてくださいm(_ _)m

Dylan🍔

x^3 - 2x^2 -x +3 と ax^3 + bx^2 + cx + d を見比べて、
a = 1 , b = -2 , c = -1 , d = 3 です。

catくんさん

ありがとうございました！