裏面
彩香さんと響稀さんが、次の問題について考えている。
を正しく埋めよ。 口は選択肢から選び、番号で答えよ。
国題 次のように、正の奇数を小さい方から、n段目に
n個の数字が並ぶように、三角形の形に並べていく。
1
3 5:
7 9
:13 15 17 19:
21 23 25 27 29:
1段目
2段目
3段目
|8
4段目
5段目
(1) n段目の最初の奇数はいくつか。
(2) n段目に含まれる奇数の総和はいくらか。
彩香:まず、正の奇数を小さい方から並べた数列を(a.}としたら、
(a,):1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …
一般項は a, =
Oやんね。
2n-1
響稀:だけん、(1) はn段目の最初の奇数が(a.)の第何項かが
わかったら求められるんちゃん。
彩香:それは(n-1)段目までに k=L (n-)n
(個)
=1
の数字があるけん、第
項や。
= -ntl
響稀:ということは、(1)の答えは
かあ。
n-ntl
彩香:あっ、忘れとったけど、(n-1)段目って考えた時点で、
n22 のときにしか言えんけん、n=1を代入しても
成り立つかどうか、確かめないかんのちゃん?
響稀:彩香、すさおい。n=1 入れたら1になるけん、成り立つわ。
彩香:よっしゃー! (1) はできた。次は (2) やね。
響稀:(2) って、結局は等差数列の和やけん、末項がわかれば
出るんちゃん。さっきと同じように考えたら、
n段目までに含まれる奇数の個数は、こ&==mn+1) (個)
k=1
それt やけん、 n段目の最後の数は
nth-l
やね。
ニ
彩香:n段目の項数はnやけん、等差数列の和の公式に入れて
計算したら…
*になったわあ。
2n
響稀:こんな簡単な形になるんやね。ホンマや、5段目まで合っとる!
2n?
あれっ、確か奇数の和って 2a,
n|になるんやった
Q=
よね。ということは、 n段目までに 川n+1) 個の奇数が
含まれとるけん、1段目から n 段目までの奇数を全部足したら、
になるってことやんね。
だから、公式
が成り立つんかあ。
彩香:響稀、すごおい。公式の証明までできたやん。
ありがとうございます！😊