彩香さんと響稀さんが、次の間題について考えている。
を正しく埋めよ。口は選択肢から選び、番号で答えよ。
「7
画題 次のように、正の奇数を小さい方から、n段目に
n個の数字が並ぶように、三角形の形に並べていく。
1
3
5:
1段目
2段目
9
11
3段目
13 15 17 19:
4段目
8
21 23 25 27 29
5段目
(1) n段目の最初の奇数はいくつか。
(2) n段目に含まれる奇数の総和はいくらか。
彩香:まず、正の奇数を小さい方から並べた数列を {a}としたら、
(a.):1, 3, 5, 7, 9, '11, 13, 15, 17, 19, 21, …
一般項は a,=
2n-1
……0 やんね。
響稀:だけん、(1) は n段目の最初の奇数が [a, の第何項かが
わかったら求められるんちゃん。
彩香:それは(*-1)段目までに k=a-)n
(個)
=1
の数字があるけん、第 )nt
項や。
=-ntl
響稀:ということは、(1)の答えは
n-ntl
かあ。
彩香:あっ、忘れとったけど、(n-1)段目って考えた時点で、
n22 のときにしか言えんけん、n=1 を代入しても
成り立つかどうか、確かめないかんのちゃん?
響稀:彩香、すごおい。n=1 入れたら1になるけん、成り立つわ。
彩香:よっしゃー! (1) はできた。次は(2) やね。
響稀:(2) って、結局は等差数列の和やけん、 末項がわかれば
出るんちゃん。さっきと同じように考えたら、
n段目までに含まれる奇数の個数は、2を=Mn+1) (個)
k=1
やけん、n段目の最後の数は
やね。
彩香:n段目の項数は nやけん、等差数列の和の公式に入れて
計算したら……
になったわあ。
響稀:こんな簡単な形になるんやね。 ホンマや、 5段目まで合っとる
あれっ、確か奇数の和って この=
になるんやっ
よね。ということは、n段目までに ミュ+1) 個の奇数が
含まれとるけん、1段目から n 段目までの奇数を全部足した
になるってことやんね。
だから、公式
が成り立つんかあ。
彩香:響稀、すごおい。 公式の証正明までできたやん。
