Question

Mathematica

問１　(1)　についてです。
この様な解き方でいいのでしょうか。(α≠0のところ)

他にもっと良い解き方があれば教えて下さい🙇

因みに、
1-cos(α/n) が単調減少であることを示して、
正項級数の積分判定法も試しました。
しかし、積分が上手くいきませんでした。

a=0 のときは明らかである. 0<a<1のとき, an = nPan とおくと,
例2 a を正の定数とすると,Z sin(α/n")はp>1 のとき収束し,
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第5章 級 数
例1pを定数とすると, こn"an (0a<1) は収束する。
証
ば収束
an+1
→ a
証明
三
an
よって,ダランベールの判定法により こan は収束.
とお
pS1のとき発散する。
(証)p>0より, 十分大きなnに対しては, 0<a/np <t となり, sin(α/np)<。
となるから,正填級数の比較定理を適用できる。
an = 1/nr, bn == sin (α/np) とおくと, lim bn/an
=« であるから, 定理1により
は一
n→0
E an と E on の収束 発散は一致する. したがって, 前章定理8系により表記の結果
を得る。
問1 次の正項級数の収束 発散を調べよ。
収
log n
(2)2(1-) (3) (1-cos ) (α定数)
n2
2
(α 定数)
ーCOS

K-0 aとさ I(1-050)-20-0 おり 。
明らかに炊束する
CoS
以F0 のとき
an=l-os
aneti.
an
よすくと。
- Dos intL
|- as &
(x>0)
(X<0)
(α>0)
> 0s (x<〇).
0os祭 よりも先に 0s=4 即51-105 20 5なる。
ーっで
TI
nt. n
く
でnー1.2..)
まり、
n.
Cos >Cos
PHI
よって、
h=00をすると
os
> CoS
lrm lanee
An
n0
以上より、ダラッNールの判定法がら、 Ianは収束する。
-oS

Answer 1

Crystal Clear

まず1-cos(α/n)は単調減少とは限りません。
nが大きくなるとα/nが0に近づくのでcos(α/n)は振動しながら1に近づきます。十分大きいnで考えれば減少列になるので問題ないですが。

a[n+1]/a[n]の極限の議論は間違いです。この極限は1ですから、ダランベールの判定法では何も言えません。
分子分母に(1+cos-)(1+cos...)をかければ正しく極限が求まります。

1-cosx≦1/2 x^2
を使います

級数

Mathematica

ご回答ありがとうございます。

自分でもやってみます!

(α/nはn→∞より、0<α/n<1として考えました)