✨ 最佳解答 ✨
Tatsu 1126さん、こんばんは。
今日は三度目になりますが、またお教えますね。
(ii)より、{a_n} はR内のCauchy列なので収束列となります。その極限値をxとし、a_{n+1} = f(a_n) に対してn→∞とすれば、fの連続性により、f(x) = xとなります。
個人的には、この辺のテクニックは面白くて好きですね。
一意性を見落としてました。
それを示すのはそれほど難しくありません。
xとyをf(x)=x, f(y)=yを満たす2点とする。
このとき、
|f(x) - f(y)| = |x - y| < c|x - y|
となる。今、c<1であるから、x=yとなる。
一意性を示して思いましたが、問題の不等式はイコールをいれた方がいい気がしますね。
ということは、問題ミスですかね？
明らかに、x=yとしたとき不等式が0<0となってしまいますね。
よって、不等式にイコールを入れるかか、不等式を任意のx, yではなく相異なる任意のx, yとするのが良いと思いました。
おそらく、出題者はイコール込みで考えていると思うので、イコール込みで考えてあげればいいと思いますよ。
分かりました。イコール込みで考えます。今回も回答ありがとうございます！
f の連続性により、f(x) ＝ x となることは分かりましたが、これより、f(x)＝x となる点が「唯一つ存在する」事を示せたことになるのでしょうか？