Question

ちゃんちゅーる

この問題教えてください。

図2
(2) 右の図のような,底面の半径が2,母線の長さが8の円錐で,母線OAの中点
がBである。点AからBまで側面上を1周してひもをかける。ひもの長さが最
短になるときのひもの長さを求めなさい。
B
A

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

u

展開図の側面(扇形)
中心角=半径/母線×360=2/8×360=90°

△OABは∠O=90°、OA=8、OB=1の直角三角形なので
三平方の定理より
AB²=OA²+OB²=65
AB>0よりAB=√(65)

となります

ちゃんちゅーる

展開図教えてください。

u

間違えているので図付きでやり直します
すみません
√(80)=4√(5)

ちゃんちゅーる

ありがとうございます♪

Answer 2

頭悪いのに進学できた人

ひもの最短距離を考えるということは、展開図にしたとき真っ直ぐな線になるということですよね。

というわけで展開図を描きましょう。

展開図において頂点とAとBの３つを結んだ時に三角形ができるのが分かるでしょうか？
このうち頂点からAまでは母線なので長さは８、頂点からBまでは母線の中点なので長さは4です。

２辺の長さが分かっているけどもう一方の長さが分からない時に使う有名な公式って何でした？

そう、三平方の定理です。

しかしこれは直角三角形にしか使えません。今のところこの三角形が直角三角形かどうかは分かっていません。

その角度をある計算によって求めたいわけですが、どうやってそれを求めましょう？

円錐の底面の半径から底面の円周が求まりますが、それは８が半径の円周の弧の長さと等しいわけです。

つまり、360度×（底面の演習÷半径８の弧の長さ）を計算すれば角度が求まりますよね。
計算するとちょうど90度になりました。

後は三平方の定理を使うだけです。頑張ってください。

ちゃんちゅーる

展開図だけでも教えてくださるとありがたいです。

頭悪いのに進学できた人

こちらになります。
辺や面積の比、角度などは正確ではありません。
あくまでもイメージです。

余談ですが、もう１つの画像は、円錐の展開図としてよく間違われるものです。
円錐を展開したとき側面は扇形になるにであって、三角形にはなりません。

展開する前の円錐を想像してみてください。
円錐を真横から見た場合、どの方向から見ても母線の長さは変わりませんよね。

つまり、円錐の側面は、この同じ長さの母線を無数に並べてできたものということになります。

なので展開したときには、頂点から底辺までどこに直線をとっても距離が等しくなければなりません。

三角形は頂点から底辺までどこに直線を取っても長さが等しくなるわけではありませんよね。

しかし、弧ならどうでしょう？
扇形は円の一部です。円はある点から一定の距離にある点同士を線で結んでできる図形なので、円と同様に扇形も弧までどこに直線をおいても等しくなります。

これが、円錐を展開したときに側面が三角形ではなく扇形になる理由です。

ちゃんちゅーる

ありがとうございます♪