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writing a reportはどういう文法ですか? → 分詞構文です。

Last night I(S) stayed(V) up late <writing a report>. <分詞構文>
①昨夜、<レポートを書いて>遅くまで起きていました。← <レポートを書きながら>遅くまで起きていた
②昨夜、遅くまで起きて、<そしてレポートを書きました>。← Last night I(S) stayed(V) up late <and(接続詞) I(S) wrote(V) a report>.
※上記どちらの訳でもOKです。

参考にしてください。

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解答

「レポートを書いていて」という意味ですね

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